DFG-Projekt: Numerische Lösung von quadratischen Operator-Eigenwertproblemen aus der Kontinuumsmechanik

Teilprojekte AP 72/1-1, 1-2, 1-3; Förderungszeitraum: Juli 2002 - Juni 2006
 
 Leitung:
  • Prof. Dr. Thomas Apel

 

Bearbeiterin: 

  • Dr.rer.nat. Cornelia Pester

 

 Kooperationspartner: 

  • Sven Beuchler
  • Dominique Leguillon
  • Arnd Meyer
  • Serge Nicaise
  • Anna-Margarethe Sändig
  • Sergey I. Solov'ev
  • David Watkins
  • Zohar Yosibash

 

 Studentische Hilfskräfte in größeren Teilprojekten: 

  • Mojca Miklavec
  • Jan Rosam

 

 Inhalt: 

  • Untersuchung der singulären Anteile der Lösungen elliptischer Randwertprobleme in Gebieten mit konkaven (einspringenden) Ecken
  • Anwendung in der Kontinuumsmechanik bei der Analyse von Spannungskonzentrationen in der Umgebung von Ecken und Rissspitzen und damit bei der Vorhersage von Rissentstehung und Rissfortschritt
  • Betrachtung von Körpern aus anisotropen Materialien oder Verbundwerkstoffen möglich
  • Bestimmung der Singulärfunktionen führt auf Eigenwertproblemen für (meist quadratische) Operatorbüschel mit komplexen Eigenwerten und Eigenfunktionen
  • Spezielle Struktur des Spektrums (Hamiltonische Eigenwertsymmetrie)
  • Von Interesse sind die Eigenwerte mit kleinstem positiven Realteil
  • Finite-Elemente-Diskretisierung und geeignete Linearisierung des Problems fürt auf ein Standard-Eigenwertproblem für eine Hamiltonische Matrix
  • Weiterentwicklung der a priori und a posteriori Finite-Elemente-Fehleranalyse
    Dissertation (C. Pester):
    • Herleitung eines residuen-basierten a posteriori Fehlerschätzers für die Lösungen von Eigenwertproblemen für beliebige Operatorbüschel
    • Modell-Beispiele: Laplace-Gleichung, lineares Elastizitätsproblem
      Herleitung der zugehörigen Eigenwertprobleme bei der Betrachtung von Eckensingularitäten
    • Konstruktion einer adaptiven Finite-Elemente-Methode
    • Besonderheiten:
      • komplexe Lösungen können auftreten
      • Betrachtung von Vektorfunktionen
      • Definitionsgebiet ist im Allgemeinen ein Teil der Kugeloberfläche
      Fehlerschätzer-Theorie ist aber auch für beliebige zweidimensionale Mannigfaltigkeiten und unabhängig von der Herkunft des Eigenwertproblems anwendbar
  • Implementierung schneller und stabiler Algorithmen zur Lösung des algebraischen Eigenwertproblems unter Ausnutzung der Struktur des Problems
  • Effektivitätsverbesserungen: Vergleich verschiedener Verfahren, Vergleich verschiedener Pakete zur Lösung großer schwachbesetzte Gleichungssysteme
  • Verifizierung aller Untersuchungen durch entsprechende numerische Tests

 

 Ergebnisse: 

 Veröffentlichungen aus dem Projekt: 

  • Th. Apel, V. Mehrmann, and D. Watkins Numerical solution of large scale structured polynomial or rational eigenvalue problems. In F. Cucker, R. DeVore, P. Olver, and E. Süli, editors, Foundations of Computational Mathematics, Minneapolis 2002, volume 312 of Lecture Note Series, Cambridge, 2004. London Mathematical Society, Cambridge University Press. Download
  • Th. Apel, A.-M. Sändig, S.I. Solov'ev Computation of 3D vertex singularities for linear elasticity: Error estimates for a finite element method on graded meshes. Math. Model. Numer. Anal., 36:1043--1070, 2002. Download
  • Th. Apel, A. Meyer, C. Pester Corrigendum: Computation of 3D vertex singularities for linear elasticity: Error estimates for a finite element method on graded meshes. Download
  • Th. Apel, C. Pester Clement-type interpolation on spherical domains - interpolation error estimates and application to a posteriori error estimation. IMA Journal of Numerical Analysis 25, No.2, 310-336, 2005. Download
  • Th. Apel, C. Pester Quadratic eigenvalue problems in the analysis of cracks in brittle materials. Proceedings of the European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (ECCOMAS). Jyväskylä, 2004. Download
  • C. Pester Hamiltonian eigenvalue symmetry for quadratic operator eigenvalue problems. J. Integral Equations Appl., 17:71-89, 2005. Download
  • A. Meyer, C. Pester The Laplace and the linear elasticity problems near polyhedral corners and associated eigenvalue problems. Math. Methods Appl. Sci. 30:751-777, 2007. Download
  • C. Pester A residual a posteriori error estimator for the eigenvalue problem for the Laplace-Beltrami operator. Preprint SFB393/05-01, Preprint-Reihe des SFB393 der Technischen Universität Chemnitz, 2005. Download
  • C. Pester CoCoS -- Computation of corner singularities (Dokumentation zum Programmpaket CoCoS). Preprint SFB393/05-03, Preprint-Reihe des SFB393 der Technischen Universität Chemnitz, 2005. Download
  • C. Pester A posteriori error estimation for non-linear eigenvalue problems for differential operators of second order with focus on 3d vertex singularities. Dissertation. Technische Universität Chemnitz, 2006. Download


 Studienabschlussarbeiten: 

  • Chr. Gay Solving of Poisson equations with singularities. Rapport de stage de fin d'études, TU Chemnitz/ENSTA Paris, 2002.
  • C. Pester Fehlerschätzer für lineare Eigenwertprobleme. Diplomarbeit. TU Chemnitz, 2002
  • J. Rosam Berechnung der Rissgeometrie bei spröden elastischen Körpern. Diplomarbeit, TU Chemnitz, 2004.
  • S. Trebesius A singular function method for elliptic boundary value problems in three dimensional domains. Diplomarbeit, TU Chemnitz, 2004.