Neuer Preprint zu Dirichlet-Randkontrollproblemen

12 März 2026

In ihrem neuen Paper „Dirichlet control problems with energy regularization governed by non-coercive elliptic equations“ untersuchen Thomas Apel, Mariano Mateos und Arnd Rösch ein linear-quadratisches Dirichlet-Kontrollproblem, das durch eine nicht-koerzive elliptische Gleichung auf möglicherweise nicht-konvexen polygonalen Gebieten beschrieben wird. Zur Stabilisierung des Problems setzen die Autoren eine Tikhonov-Regularisierung in einer Energie-Seminorm ein und zeigen, dass sich die Lösungen in geeigneten gewichteten Sobolev-Räumen beschreiben lassen, die die auftretenden Singularitäten an Ecken solcher Geometrien erfassen.

Die Arbeit knüpft an die Vorgängerstudie „Non-coercive Neumann boundary control problems“ derselben Autoren an, in der ein linear-quadratisches Neumann-Randkontrollproblem untersucht und insbesondere Existenz, Eindeutigkeit, Regularität sowie die Finite-Elemente-Approximation der Zustands- und Adjunktgleichungen analysiert werden. Im neuen Beitrag wird nun die Diskretisierung des Dirichlet-Kontrollproblems betrachtet. Für optimale Konvergenzraten in nicht-konvexen Polygonen sind graduell verfeinerte Netze erforderlich; zusätzlich wird eine diskrete Projektion eingeführt, um inhomogene Randbedingungen korrekt zu behandeln. Die Autoren zeigen, dass die diskreten Probleme gleichmäßig stark konvex bleiben und dadurch optimale Fehlerabschätzungen erreicht werden können, was durch numerische Beispiele bestätigt wird.

Thomas Apel, Mariano Mateos, Arnd Rösch: Dirichlet control problems with energy regularization governed by non-coercive elliptic equations.  arXiv:2603.09507 [math.OC]