IWASAWA

Iwasawa-Theorie von elliptischen Kurven

Ansprechpartner an der Professur: PD Dr. Sören Kleine
Projektstart:
 2023
Finanzierung:
 Eigenmittel

Eine grundlegende Eigenschaft der ganzen Zahlen ist es, dass man jede davon (bis auf die Reihenfolge) eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben kann. Die algebraische Zahlentheorie studiert ähnliche Zerlegungseigenschaften in größeren Zahlbereichen, den sogenannten Zahlkörpern. Dort kommt es in der Regel vor, dass eine "Zahl" auf mehrere mögliche Arten in ganz unterschiedliche Primfaktoren zerlegt werden kann. Das ist zwar nicht sehr intuitiv, hat aber einen massiven Einfluss auf die Arithmetik in diesen Zahlkörpern. Die Klassenzahl eines Zahlkörpers gibt etwas salopp gesagt an, wie häufig solche nicht eindeutigen Zerlegungen sind; wenn die Klassenzahl ihren kleinstmöglichen Wert 1 annimmt, dann ist die Zerlegung eindeutig, so wie bei den klassischen ganzen Zahlen.

Die Bestimmung der Klassenzahl eines gegebenen Zahlkörpers ist eine sehr schwierige Aufgabe – umso härter, je größer der betrachtete Zahlkörper ist. Selbst für die (bezogen auf ihren Grad) kleinsten Zahlkörper ist es nicht trivial, die Klassenzahl vorher zu sagen. Umso erstaunlicher ist ein berühmter Satz von Kenkichi Iwasawa, der die (wesentlichen Faktoren der) Klassenzahlen für eine unendliche Familie von Zahlkörpern mit einer einfachen asymptotischen Formel angeben konnte: Diese Familien werden unter anderem durch einen Startzahlkörper K und eine Primzahl p beschrieben. Für den n-ten Körper in einer solchen Familie bekommt man dann den Ausdruck

μpn + λn + ν.

Die Parameter μ, λ und ν in dieser Formel sind konstant, d.h. wenn man sie kennt, dann kann man alle Werte (für alle Indizes n) der Klassenzahlen ausrechnen. Das ist umso beeindruckender, als dass die in der Familie betrachteten Zahlkörper einen exponentiell wachsenden Grad haben und somit klassische Berechnungen ihrer Klassenzahlen schnell vom Aufwand her selbst mit modernen Computern (auch mit Quantencomputern!) völlig unpraktikabel werden. Die Konstanten in Iwasawas Formel heißen heute ihm zu Ehren Iwasawa-Invarianten, und eine der Grundaufgaben der sogenannten Iwasawa-Theorie ist es, möglichst viel über die Werte dieser Iwasawa-Invarianten herauszufinden.

In der modernen Iwasawa-Theorie spielt interdisziplinäres Denken eine immer größere Rolle. So werden vermehrt Objekte aus der Geometrie anstelle der klassischen Klassengruppen studiert, und man benutzt zunehmend Methoden der Analysis und der höheren Algebra zum Studium dieser Objekte. Ein wichtiges Beispiel sind die elliptischen Kurven. Diese kann man (neben ein paar technischen Zusatzbedingungen) beschreiben durch Gleichungen der Form

Y2 = X3 + aX + b

in den zwei Variablen X und Y, wobei a und b aus einem Zahlkörper stammen. Man kann nun versuchen, Punkte (X,Y) zu finden, welche die Kurvengleichung erfüllen. Wenn man den Zahlkörper größer macht, findet man in der Regel weitere Punkte auf der Kurve (weil man in dem größeren Körper einen größeren Wertebereich für X und Y zur Verfügung hat). Somit kann man wieder Familien von Zahlkörpern à la Iwasawa betrachten und studieren, wie schnell die Mengen von Punkten wachsen. Etwas präziser gesagt studiert man dazu sogenannte Selmergruppen, benannt nach dem norwegischen Mathematiker Ernst Selmer, die alle Informationen über die Punkte (und noch viele mehr!) enthalten. Wie in der klassischen Iwasawa-Theorie kann man diesen Selmergruppen wieder Iwasawa-Invarianten zuordnen, die ihr Wachstum über einer gegebenen Familie von Zahlkörpern beschreiben.

In diesem Projekt wird die Variation der Iwasawa-Invarianten von Selmergruppen elliptischer Kurven über verschiedene Familien von Zahlkörpern studiert. Hierbei wird auf der einen Seite der Startkörper verändert, auf der anderen Seite (und relevanter für dieses Projekt) wird bei festem Startkörper die Kette der größeren Zahlkörper variiert. Dann wird untersucht, welche Werte die Iwasawa-Invarianten der Selmergruppe über den verschiedenen Familien annehmen können. Die Verteilung dieser Werte hat viele arithmetische Anwendungen. Im Fokus des Projektes standen in den letzten Jahren vor allem die Folgen für die sogenannte 𝔐H(G)-Vermutung, die maßgeblich auf den renommierten und im Jahr 2022 verstorbenen australisch-britischen Mathematiker John Coates sowie auf Sujatha von der University of British Columbia in Vancouver, Kanada zurück geht. Zusammen mit Sujatha und Ahmed Matar von der Universität Bahrain wurden überraschende neue Zusammenhänge zwischen der 𝔐H(G)-Vermutung und der Variation von Iwasawa-Invarianten gefunden. Mithilfe dieser äquivalenten Beschreibungen der Vermutung konnten neue Beispiele gefunden werden, in denen die Vermutung gilt – sowie auch erstmals Gegenbeispiele, welche die Grenzen der Vermutung aufzeigen.

Im Rahmen dieses Projekts sind inzwischen folgende Veröffentlichungen entstanden: