DFG-Projekt: Numerische Lösung von quadratischen Operator-Eigenwertproblemen aus der Kontinuumsmechanik

Teilprojekte AP 72/1-1, 1-2, 1-3; Förderungszeitraum: Juli 2002 - Juni 2006
 
 Leitung:
  • Prof. Dr. Thomas Apel

 

Bearbeiterin: 

  • Dr.rer.nat. Cornelia Pester

 

 Kooperationspartner: 

  • Sven Beuchler
  • Dominique Leguillon
  • Arnd Meyer
  • Serge Nicaise
  • Anna-Margarethe Sändig
  • Sergey I. Solov'ev
  • David Watkins
  • Zohar Yosibash

 

 Studentische Hilfskräfte in größeren Teilprojekten: 

  • Mojca Miklavec
  • Jan Rosam

 

 Inhalt: 

  • Untersuchung der singulären Anteile der Lösungen elliptischer Randwertprobleme in Gebieten mit konkaven (einspringenden) Ecken
  • Anwendung in der Kontinuumsmechanik bei der Analyse von Spannungskonzentrationen in der Umgebung von Ecken und Rissspitzen und damit bei der Vorhersage von Rissentstehung und Rissfortschritt
  • Betrachtung von Körpern aus anisotropen Materialien oder Verbundwerkstoffen möglich
  • Bestimmung der Singulärfunktionen führt auf Eigenwertprobleme für (meist quadratische) Operatorbüschel mit komplexen Eigenwerten und Eigenfunktionen
  • Spezielle Struktur des Spektrums (Hamiltonische Eigenwertsymmetrie)
  • Von Interesse sind die Eigenwerte mit kleinstem positiven Realteil
  • Finite-Elemente-Diskretisierung und geeignete Linearisierung des Problems führt auf ein Standard-Eigenwertproblem für eine Hamiltonische Matrix
  • Weiterentwicklung der a priori und a posteriori Finite-Elemente-Fehleranalyse
    Dissertation (C. Pester):
    • Herleitung eines residuen-basierten a posteriori Fehlerschätzers für die Lösungen von Eigenwertproblemen für beliebige Operatorbüschel
    • Modell-Beispiele: Laplace-Gleichung, lineares Elastizitätsproblem
      Herleitung der zugehörigen Eigenwertprobleme bei der Betrachtung von Eckensingularitäten
    • Konstruktion einer adaptiven Finite-Elemente-Methode
    • Besonderheiten:
      • komplexe Lösungen können auftreten
      • Betrachtung von Vektorfunktionen
      • Definitionsgebiet ist im Allgemeinen ein Teil der Kugeloberfläche
      Fehlerschätzer-Theorie ist aber auch für beliebige zweidimensionale Mannigfaltigkeiten und unabhängig von der Herkunft des Eigenwertproblems anwendbar
  • Implementierung schneller und stabiler Algorithmen zur Lösung des algebraischen Eigenwertproblems unter Ausnutzung der Struktur des Problems
  • Effektivitätsverbesserungen: Vergleich verschiedener Verfahren, Vergleich verschiedener Pakete zur Lösung großer schwachbesetzte Gleichungssysteme
  • Verifizierung aller Untersuchungen durch entsprechende numerische Tests

 

 Ergebnisse: 

 Veröffentlichungen aus dem Projekt: 

  • Th. Apel, V. Mehrmann, and D. Watkins Numerical solution of large scale structured polynomial or rational eigenvalue problems. In: F. Cucker, R. DeVore, P. Olver, and E. Süli, editors, Foundations of Computational Mathematics, Minneapolis 2002, volume 312 of Lecture Note Series, Cambridge, 2004. London Mathematical Society, Cambridge University Press. Download
  • Th. Apel, A.-M. Sändig, S.I. Solov'ev Computation of 3D vertex singularities for linear elasticity: Error estimates for a finite element method on graded meshes. Math. Model. Numer. Anal., 36:1043-1070, 2002. Download
  • Th. Apel, A. Meyer, C. Pester Corrigendum: Computation of 3D vertex singularities for linear elasticity: Error estimates for a finite element method on graded meshes. Download
  • Th. Apel, C. Pester Clement-type interpolation on spherical domains - interpolation error estimates and application to a posteriori error estimation. IMA J. Numer. Anal. 25, No.2, 310-336, 2005. Download
  • Th. Apel, C. Pester Quadratic eigenvalue problems in the analysis of cracks in brittle materials. Proceedings of the European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (ECCOMAS). Jyväskylä, 2004. Download
  • C. Pester Hamiltonian eigenvalue symmetry for quadratic operator eigenvalue problems. J. Integral Equations Appl., 17:71-89, 2005. Download
  • A. Meyer, C. Pester The Laplace and the linear elasticity problems near polyhedral corners and associated eigenvalue problems. Math. Methods Appl. Sci. 30:751-777, 2007. Download
  • C. Pester A residual a posteriori error estimator for the eigenvalue problem for the Laplace-Beltrami operator. Preprint SFB393/05-01, Preprint-Reihe des SFB393 der Technischen Universität Chemnitz, 2005. Download
  • C. Pester CoCoS -- Computation of corner singularities (Dokumentation zum Programmpaket CoCoS). Preprint SFB393/05-03, Preprint-Reihe des SFB393 der Technischen Universität Chemnitz, 2005. Download
  • C. Pester A posteriori error estimation for non-linear eigenvalue problems for differential operators of second order with focus on 3d vertex singularities. Dissertation. Technische Universität Chemnitz, 2006. Download


 Studienabschlussarbeiten: 

  • Chr. Gay Solving of Poisson equations with singularities. Rapport de stage de fin d'études, TU Chemnitz/ENSTA Paris, 2002.
  • C. Pester Fehlerschätzer für lineare Eigenwertprobleme. Diplomarbeit. TU Chemnitz, 2002
  • J. Rosam Berechnung der Rissgeometrie bei spröden elastischen Körpern. Diplomarbeit, TU Chemnitz, 2004.
  • S. Trebesius A singular function method for elliptic boundary value problems in three dimensional domains. Diplomarbeit, TU Chemnitz, 2004.