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Monte-Carlo Simulation von Si und SiGe Bauelementen

Monte-Carlo Simulation von Si und SiGe Bauelementen

Monte-Carlo Simulation von Si und SiGe Bauelementen

Die Monte-Carlo Methode ist ein stochastisches Verfahren mit dem die semiklassische Boltzmanntransportgleichung gelöst werden kann. Dabei wird die mikroskopische Bewegung der Elektronen (und Löcher) im Halbleiter nachvollzogen. Diese setzt sich zusammen aus stoßlosen Flügen, die durch die Newtonschen Bewegungsgleichungen beschrieben werden, und Streuungen aufgrund von Wechselwirkungen mit Störstellen, Phononen, usw. So lenkt zum Beispiel ein geladenes Dotierstoffatom ein Elektron durch die Coulombwechselwirkung ab. Da die Lage der Dotierstoffatome zufällig ist, wird auch die Bahn des Elektrons zufällig.

Elektrisches Feld von 100kV/cm in negative x-Richtung
Elektronenbewegung im Halbleiter
Abb. 1: Bewegung eines Elektrons in homogenen Silizium (von links nach rechts)


Jede abrupte Änderung der Bewegung wird durch ein Streuereignis verursacht. Die freie Flugzeit zwischen zwei Streuereignissen wird mittels einer Zufallszahl und der entsprechenden Streurate bestimmt. Ebenso wird der Nachstoßzustand des Elektrons mit Zufallszahlen entsprechend der Übergangsrate des Streuprozesses berechnet. Dadurch wird mit der Monte-Carlo Methode die zufällige Bewegung der Elektronen im Halbleiter nachgebildet. Es wird also eine exakte Integrodifferenzialgleichung (die Boltzmantransportgleichung) durch Würfeln gelöst. Diese zufällige Bewegung ist auch die Ursache für das elektronische Rauschen. Da die Bewegung des Elektrons stark zufällig ist, muss man mehr als ein Elektron simulieren und erhält zuverlässige Ergebnisse nur durch Mittelung über ein hinreichend großes Teilchenensemble.

Elektronenbewegung im Halbleiter
Abb. 2: Elektronengeschwindigkeit in homogenen Silizium für ein elektrisches Feld von 100kV/cm gemittelt über ein, hundert und zehntausend Teilchen


Der stochastische Fehler der Simulation ist invers proportional zur Wurzel aus der Teilchenzahl. Die Simulationen konvergieren daher nur langsam und die Monte-Carlo Methode ist sehr rechenintensiv.

Aufgrund der mikroskopischen Beschreibung des Teilchentransports können physikalische Effekte auf eine sehr fundamentale Art und Weise berücksichtigt werden. Zum Beispiel kann die vollständige Energiebandstruktur des Halbleiters berücksichtigt werden.

Elektronenbewegung im Halbleiter
Abb. 3: Schnitt durch das erste Valenzband von Silizium und eine Äquienergiefläche


Die verworfene Struktur des Valenzbands macht es praktisch unmöglich, die Bandstruktur mit einfachen analytischen Funktionen zu beschreiben.

 

Elektronenbewegung im Halbleiter
Abb. 4: Erstes Leitungsband von Silizium


Deutlich sind die Rotationsellipsoiden der sechs Minima des ersten Leitungsbands von Silizium zu erkennen. Diese komplizierte Bandstruktur wird mit speziellen Tetraedergittern diskretisiert.

Elektronenbewegung im Halbleiter
Abb. 5: Schnitt durch das Gitter des ersten Leitungsbands von Silizium


Das Gitter ist nur an den Stellen, wo die zweite Abbleitung der Energie groß ist, besonders fein. Ansonsten ist das Gitter gröber, wodurch sich die Zahl der Gitterpunkte minimieren lässt.

Für eine Monte Carlo Simulation benötig man noch neben der Bandstruktur Streuprozesse. Der wichtigste Streuprozess ist die Phononstreuung. Phononen sind die Quasiteilchen der thermischen Gitterschwingungen. Ihre Streurate wächst mit der Energie an:

Elektronenbewegung im Halbleiter
Abb. 6: Elektron- und Lochphononstreurate für Silizium bei Raumtemperatur


Dies ist der Grund für die Sättigung der Geschwindigkeit bei hohen elektrischen Feldern. Wenn die Teilchen einem elektrischen Feld ausgesetzt werden, nimmt ihre Energie zu und damit ihre Streuwahrscheinlichkeit. Dies wiederum reduziert die mittlere freie Flugzeit und die Teilchen werden häufiger gestreut. Bei der Streuung verlieren die Teilchen nicht nur ihre Geschwindigkeit, sondern geben auch Energie über Phononen an das Kristallgitter ab, was zur Erwärmung des Halbleiters führt. Es stellt sich ein dynamisches Gleichgewicht zwischen Energieaufnahme aus dem elektrischen Feld und Abgabe durch Phononen ein. In der nächsten Abbildung ist dies gezeigt für ein Elektronenensemble. Zu Anfang befinden sich die Elektronen im Gleichgewicht. Dann wird zum Zeitpunkt 0ps ein elektrisches Feld von 100kV/cm eingeschaltet. Dadurch werden die Elektronen stark beschleunigt und ihre mittlere Geschwindigkeit nimmt zu. Die mittlere Energie nimmt ebenfalls zu, jedoch nicht so schnell. Daher kommt es zu sogenannten "Velocity overshoot", bei dem die aktuelle Geschwindigkeit über dem stationären Endwert liegt:

Elektronenbewegung im Halbleiter
Abb. 7: Einschwingvorgang der Geschwindigkeit und Energie für Elektronen in Silizium, wenn zum Zeitpunkt 0ps ein elektrisches Feld von 100kV/cm plötzlich eingeschaltet wird. Beide Größen sind auf ihre Sättigungswerte bezogen


Mit zunehmender Teilchenenergie steigt sinkt dann die mittlere freie Flugzeit und die Elektronen werden wieder langsamer und es stellt sich der stationäre Grenzwert ein.