Heft 56/1997

Schriftenreihe
des Instituts für Geodäsie


 
Heft 56/1997

SUTOR, Thomas

Robuste Verfahren zur Analyse linearer stochastischer Prozesse im Spektralbereich

Dissertation
VI, 123 S.

Auflage:  450

ISSN:  0173-1009

Inhaltsverzeichnis

Zusammenfassung

 


Vollständiger Abdruck der von der Fakultät für Bauingenieur- und Vermessungswesen der Universität der Bundeswehr München zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktor-Ingenieurs (Dr.-Ing.) genehmigten Dissertation.

Promotionsausschuß:  
Vorsitzender: Univ.-Prof. Dr. rer.nat. K. Wichmann
1. Berichterstatter: Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Caspary
2. Berichterstatter: Univ.-Prof. Dr.-Ing. S. Meier  (TU Dresden)

Diese Dissertation wurde am 9. Mai 1997 bei der Universität der Bundeswehr München eingereicht.

Tag der mündlichen Prüfung:  14. August 1997
 



Verkürztes Inhaltsverzeichnis

1  Einführung 1
 
2  Geodätische Zeitreihen 5
    2.1  Deformations-Messungen an einem großen Staudamm 6
    2.2  Windkanal-Auslegung einer Hängebrücke 8
    2.3  Erprobung eines Alignement-Systems 10
    2.4  GPS Messungen in einem Überwachungsnetz 12
 
3  Robuste Methoden für die Zeitreihenanalyse 15
    3.1  Begriffsbestimmung 16
    3.2  Die Hebelwert-Problematik 22
    3.3  Schätzung von Autokorrelations-Koeffizienten 26
    3.4  Bewertung 36
 
4  Das klassische Komponentenmodell 37
    4.1  Trendkomponenten 38
    4.2  Saison- und Konjunkturkomponenten 43
    4.3  Bewertung des klassischen Komponentenmodells 44
 
5  Schätzung im Spektralbereich 45
    5.1  Ensembles von Zeitreihen 46
    5.2  Klassische Methoden 47
    5.3  Schätzung der spektralen Dichtefunktion in AR-Modellen 57
    5.4  Schätzung der spektralen Dichtefunktion in MA-Modellen 68
    5.5  Schätzung der spektralen Dichtefunktion in ARMA-
           Modellen

71
    5.6  Statistische Eigenschaften 76
    5.7  Wahl eines geeigneten Modells 78
    5.8  Bewertung und Empfehlungen 79
 
6  Verallgemeinerung der spektralen Dichtefunktion 81
    6.1  Spektrale Dichtefunktionen höherer Ordnung 82
    6.2  Nichtlineare parametrische Modelle 83
    6.3  Evolutionäre spektrale Dichtefunktionen 84
    6.4  Wavelet-Transformation 85
 
7  Geodätische Anwendungen 87
    7.1  Erprobung eines Alignement-Systems 87
    7.2  GPS Messunghen in einem Überwachungsnetz 90
    7.3  Deformations-Messungen an einem Staudamm 93
    7.4  Bewertung 97
 
Zusammenfassung 99
 
A  Beschreibung von Zeitreihen im Spektralbereich 101
    A.1  Beschreibung von Zeitreihen im Spektralbereich 102
    A.2  Lineare Systeme und parametrische Modelle 109
    A.3  Eigenschaften von Zeitreihen 113
 

 
Zusammenfassung

Robuste Verfahren erweisen sich in geodätischen Problemstellungen und Anwendungen nicht nur für die konventionelle Parameterschätzung sondern zunehmend auch für die Untersuchung von geodätischen Zeitreihen als nützlich und notwendig. Robust wird dabei im Sinne von Ergänzung und nicht als Ersatz der Methode der kleinsten Quadrate verstanden. Bereits die ersten, oftmals über eine fundierte Interpretation entscheidenden Schätzschritte im klassischen Komponentenmodell, können durch den Einsatz robuster Verfahren deutlich verbessert werden. Um dieses Ziel zu erreichen, werden in dieser Arbeit durch den Einsatz von Hebel- und neuentwickelten Einflußwerten die Startwertberechnungen für nichtlineare Trendfunktionen robustifiziert. Die Konvergenz und Stabilität der Schätzungen kann dadurch erheblich verbessert und robuste, konsistente und plausible Schätzergebnisse in den gewählten Trendmodellen erreicht werden.

Der robusten Schätzung der Autokorrelations-Funktion gilt - vor allem in Hinblick auf die spektrale Dichtefunktion sowie das Wiener-Khintchin Theorem - erhöhte Aufmerksamkeit. Neben robusten Aspekten tritt zusätzlich das Problem der positiven Definitheit von Schätzungen auf. Zwei der Literatur entnommene Vorschläge hierzu erweisen sich nin dieser Arbeit als reale Anwendungen als wenig brauchbar. Als Alternative zu den bekannten nichtrobusten und robusten Autokorrelations-Schätzern wird in Abschnitt (3.3.8) eine Methode entwickelt, die die Vorzüge und positiven Eigenschaften der verfügbaren Verfahren in sich vereint. Mit Hilfe von Hampels Einflußfunktion wird dazu die Wirkung grober Fehler auf die Schätzung der Autokorrelations-Funktion untersucht. Durch eine Summation von Einflußwerten gelingt es, grobe Fehler im Beobachtungsvektor zu identifizieren und zu eliminieren. Um die positive Definitheit des neuen Schätzers sicherzustellen und um eventuelle Restfehler erfassen zu können, wird dem Verfahren ein bekannter, robuster Ansatz von Huber nachgeschaltet. Am Beispiel von simulierten Zeitreihen werden die einzelnen Autokorreltions-Schätzer anschließend verglichen und die Leistungsfähigkeit des neuen Verfahrens nachgewiesen.

Eine Schätzung im Spektralbereich ist traditionell auf die Fourier-Transformation gegründet. Zwar weisen die zugehörigen Verfahren die höchste erzielbare spektrale Auflösung auf, jedoch sind alle Methoden mit einer hohen Verzerrung und Varianz bis hin zur Inkonsistenz der Schätzwerte behaftet. Der Einfluß von Ausreißern ist nicht begrenzt und daher der Zusammenbruch dieser Schätzer bei Anwesenheit grober Fehler möglich. Das bekannte und in der Literatur dokumentierte Prewhitening/Recoloring von R. D. Martin wird in dieser Arbeit durch einen robusten Spektralschätzer, der auf einer robusten Schätzung der Autokorrelations-Funktion basiert, ergänzt. Damit kann ohne den Umweg über autoregressive Modelle - der durchaus einige Schwierigkeiten verursachen kann - eine Robustifizierung der spektralen Dichtefunktion erreicht werden. Im Vergleich mit den aus der Literatur bekannten Ansätzen erweist sich der robustifizierte klassische Ansatz den verfügbaren robusten Methoden als zumindestens ebenbürtig.

Im Vergleich zu den klassischen Verfahren erscheinen spektrale Dichtefunktionen, die auf parametrischen Modellen beruhen, stark generalisierend. Nichtsdestoweniger bilden sie eine sinnvolle Erweiterung für die Verfahren der Zeitreihenanalyse im Frequenzbereich, wie am Beispiel von simulierten Zeitreihen gezeigt wird. Eine Robustifizierung ist allerdings wiederum unumgänglich. Als Ersatz für die herkömmliche, gegen Ausreißer extrem sensitive Schätzung der Standardabweichung der Innovationen, empfiehlt sich unabhängig vom gewählten Ansatz und Modell ein robuster Skalenschätzer. Die benötigten Residuen werden dabei zweckmäßig durch eine robuste Filterung aus den Beobachtungen gewonnen. Eine deutliche Verbesserung der Schätzungen läßt sich aber erst durch den zusätzlichen Einsatz von robusten Autokorrelations-Schätzern erzielen. Die in dieser Arbeit neu entwickelte Methode zur robusten Schätzung einer Autokorrelations-Funktion erweist sich auch für die Schätzung von spektralen Dichtefunktionen in parametrischen Modellen als hervorragend geeignet. In Verbindung mit einem Ansatz, der auf der Äquivalenzbeziehung zwischen Kovarianz- und Korrelations-Koeffizienten beruht, werden damit sämtliche besprochenen parametrischen Spektralaschätzer robustifiziert. Etwaige Probleme, die durch die unbekannte Ordnung der parametrischen Modelle entstehen, können durch die Verwendung von Informationskriterien beseitigt werden. Ihre ursprüngliche Funktionalität wird dabei so erweitert, daß instationäre oder nicht invertible Modelle automatisch unterdrückt werden.

Nichtlineare Erweiterungen der spektralen Dichtefunktion erweisen sich im Rahmen der vorliegenden Arbeit als wenig sinnvoll. Abgesehen von den Schwierigkeiten, die physikalische Interpretation einer verallgemeinerten spektralen Dichtefunktion sicherzustellen, kann der Einfluß grober Fehler auf die Schätzung kaum von den Eigenschaften des gewählten Modells unterschieden werden. Eine Robustifizierung analog zum Muster des vorgestellten Schätzers für Autokorrelations-Funktionen scheitert an der Komplexität der dann erhaltenen Einflußfunktion. Aus diesen Gründen erfolgt eine konsequente Beschränkung auf lineare Systeme und Modelle. Die Wirksamkeit der hierfür neu entwicklelten robusten Schätzer wird abschließend am Beispiel von drei realen geodätischen Anwendungen demonstriert.
 


 
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