Heft 53/1996

Schriftenreihe
des Instituts für Geodäsie


 
Heft 53/1997

CHEN, Guoping

Robuste Verfahren zur Analyse linearer stochastischer Prozesse im Zeitbereich

Dissertation
III, 126 S.

Auflage:  450

ISSN:  0173-1009

Inhaltsverzeichnis

Zusammenfassung

 


Vollständiger Abdruck der von der Fakultät für Bauingenieur- und Vermessungswesen der Universität der Bundeswehr München zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktor-Ingenieurs (Dr.-Ing.) genehmigten Dissertation.

Promotionsausschuß:  
Vorsitzender: Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Welsch
1. Berichterstatter: Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Caspary
2. Berichterstatter: Univ.-Prof. Dr. rer. nat. K. Wichmann

Diese Dissertation wurde am 20. November 1996 bei der Universität der Bundeswehr München eingereicht.

Tag der mündlichen Prüfung:  19. März 1997
 



Verkürztes Inhaltsverzeichnis

1  Einführung 1
 
2  Grundlagen 4
    2.1  Das klassische Zeitreihenmodell 4
    2.2  Kollokation und Kriging 13
    2.3  Zustandsraumformulierung linearer dynamischer
           Systeme und Kalman-Filter

23
    2.4  Robuste Schätzer 26
 
3  Robuste Analyse klassischer Zeitreihen 31
    3.1  Klassifikation grober Fehler in Zeitreihen 31
    3.2  Der Einfluß eines AA auf die Autokovarianz- und
           Autokorrelationsschätzung

32
    3.3  Grober Fehler und die Bedingungen der Stationarität
           und Invertierbarkeit beim AR(l)- und MA(l)-Modell

35
    3.4  Robuste Schätzung der Modellparameter 36
    3.5  Robuste Verfahren zur Modellidentifikation 46
    3.6  Simulationsergebnisse 47
 
4  Das erweiterte ARMA-Modell 51
    4.1  Modellbildung 51
    4.2  Parameterschätzung 52
    4.3  Varianzkomponentenschätzung 55
    4.4  Wahl der Modellordnung 60
 
5  Zustandsraumformulierung des erweiterten
    ARMA-Modells

61
    5.1  Darstellung des EARMA-Modells im Zustandsraum 61
    5.2  Stabilität, Beobachtbarkeit und Störbarkeit 63
    5.3  Auswertung des EARMA-Modells mit Kalman-Filter 66
    5.4  Robustifizierung des Kalman-Filters 68
    5.5  Numerische Beispiele 70
 
6  Analyse von Zeitreihen mit Kollokation und Kriging 72
    6.1  Einleitung 72
    6.2  Analyse einer Zeitreihe mit Kollokation 73
    6.3  Analyse der Zeitreihe mit dem Krigingverfahren 76
    6.4  Vergleich von Kollokation und Kriging 78
    6.5  Robustes Krigingverfahren 80
 
7  Analyse realer Zeitreihen 84
    7.1  Beschreibung der Datensätze 84
    7.2  Behandlung des Trends und der Schwingungen 89
    7.3  Kriging des stochastischen Anteils 94
    7.4  Darstellung des stochastischen Anteils mit dem
           EARMA-Modell

106
 
Zusammenfassung und Ausblick 113
 
Literaturverzeichnis 116
 
Lebenslauf 125
Dank 126
 

 
Zusammenfassung und Ausblick

In der vorliegenden Arbeit werden zunächst die notwendigen Grundlagen aufbereitet. Hierzu zählen die Beschreibung stochastischer Prozesse, eine kurze Zusammenfassung über Kollokation und Kriging sowie ein Abriß über das Kalman-Filter und die robuste Schätzung.

Der Einfluß eines additiven Ausreißers AA auf die Schätzwerte für Autokorrelationskoeffizienten wird analytisch untersucht. Die Ergebnisse zeigen, daß beim Vorhandensein eines AA die Autokorrelationskoeffizienten dem Betrag nach kleiner als der Sollwert geschätzt werden. Daraus resultiert die Aussage, daß ein aus mit groben Fehlern behafteten Meßdaten geschätzter Parameter eines AR(l)- oder MA(l)-Modells im Stationaritäts- oder Invertierbarkeitsbereich liegt, wenn auch der zugrunde liegende Prozeß stationär oder invertierbar ist. Es werden vier robuste Schätzer vorgestellt, mit denen der Einfluß von AA auf die geschätzten Autokorrelationskoeffizienten unterdrückt werden kann. Ausgehend von Huber (Huber's Proposal 2) wird der Wert der kritischen Konstante β für die simultane Schätzung von Lage- und Skalenparameter empirisch untersucht. Das Ergebnis dieser Untersuchung ist bedeutungsvoll und kann zur robusten Schätzung von Lage- und Skalenparametern des Zeitreihenmodells eingesetzt werden. Mit Hilfe der M-Schätzer werden einige robuste Varianten zur Parameterschätzung und Modellidentifikation des klassischen Zeitreihenmodells erörtert und mit zahlreichen Simulationsbeispielen erprobt. In allen Fällen der Parameterschätzung und der Modellidentifikation sind die robusten Verfahren der klassischen Vorgehensweise klar überlegen.

Unter Berücksichtigung der Meßfehler wird das klassische ARMA-Modell zu einem EARMA-Modell erweitert. Mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate wird ein Schätzverfahren für die Parameter des EARMA-Modells hergeleitet. Für die in der Regel nicht bekannten Varianzen des System- und des Meßrauschens wird eine Varianzkomponentenschätzung vorgestellt. Die Problematik der Modellidentifikation wird ebenfalls behandelt. Simulationsrechnungen bestätigen, daß dieses EARMA-Modell die Einflüsse des Systemsrauschens und des Meßrauschens voneinander trennen und die Modellparameter plausibel schätzen kann, sofern die Modellordnung vernünftig gewählt wurde.

Das EARMA-Modell aknn ohne weitere Modifikation im Zustandsraum formuliert werden. Die Stabilität, die Beobachtbarkeit sowie die Störbarkeit des EARMA-Modells werden ausführlich diskutiert. Mit Hilfe des Kalman-Filters wird das EARMA-Modell im Zustandsraum ausgewertet. Einzelne Lücken in den Meßdaten können so gefüllt und zweifelhafte Beobachtungen durch interpolierte Werte ersetzt werden, sofern die Parameter und die Varianzkompoonenten des EARMA-Modells vorhanden sind.

Kollokation und Kriging können wie das EARMA-Modell zur Interpolation von Beobachtungen herangezogen werden. Ursprünglich dienen diese beiden Verfahren der Verarbeitung räumlicher Daten. Sie können aber ebensogut auf die Beobachtung der Zeitreihe angewandt werden, wenn man die Zeitachse als eine eindimensionale Raumachse ansieht. Die Identität der beiden Verfahren unter gewissen Bedingungen wird theoretisch bewiesen. Die Kovarianzfunktion und das Variogramm - die Bausteine für Kollokation und Kriging - sind bei schwach stationären Prozessen äquivalente Maße für die stochastische Struktur der Prozesse. Die beiden Verfahren unterscheiden sich vor allem in ihrer rechentechnischen Realisierung. Wegen des kleineren Rechenaufwandes, der stabileren Ergebnisse, des breiteren Anwendungsbereiches und nicht zuletezt, weil das Variogramm von einem nicht vollständig entfernten Trend weniger beeinflußt wird als die Schätzwerte für die Kovarianz, ist das Krigingverfahren als Favorit zu empfehlen. Es wurde erfolgreich versucht, das Krigingverfahren zu robustifizieren. Einige Ergebnisse dazu werden unterbreitet.

Die praktische Anwendbarkeit der robusten Schätzer für das EARMA-Modell sowie das Krigingverfahren werden mit realen Zeitreihen aus dem geodätischen Bereich untersucht. Die Zeitreihen sind sowohl mit einem deterministischen Anteil als auch mit groben Fehlern behaftet. Darüberhinaus enthalten sie Lücken. Der deterministische Anteil wird mit einem Polynom zweiten Grades und periodischen Schwingungen approximiert. Um die Frequenz der Schwingungen zu bestimmen, wird das Periodogramm zu Hilfe genommen. Die Parameter des Polynoms und der Schwingungen werden robust geschätzt. Mit dem Krigingverfahren werden die Lücken in den Zeitreihen gefüllt und die zweifelhaften Meßwerte korrigiert. Es zeigt sich, daß das Krigingverfahren ein für diesen Zweck geeignetes Werkzeug ist. Die Wirkung des robusten Krigings wird nachgewiesen. Danach werden die Zeitreihen mit dem EARMA-Modell modelliert. Die Ergebnisse zeigen, daß das EARMA-Modell zur Modellierung geodätischer Zeitreihen geeignet ist. Mit diesem Modell kann man die stochastische Feinstruktur der Zeitreihen untersuchen und die Varianz des Meßrauschens schätzen.

Für die Analyse geodätischer Zeitreihen wird die folgende allgemeine Vorgehensweise empfohlen:

  1. Darstellung der Zeitreihen.
    Eine plausible Entscheidung über die Ansätze zur Modellierung der Zeitreihen ist nur mit graphischen Hilfsmitteln und unter Berücksichtigung der a priori bekannten Eigenschaften der gemessenen Objekte sowie der Meßgeräte und des Meßverfahrens möglich. Eine „blinde” Analyse ist auf jeden Fall zu vermeiden.
  2. Abspaltung des deterministischen Anteils.
    Der Trend kann durch lineare Funktionen (Polynome beliebigen Grads) oder nichtlineare Funktionen (exponentielle oder logistische Funktionen) modelliert werden - je nachdem, was in den Graphiken der Meßdaten offensichtlich wird. Um die eventuell überlagerten Schwingungen aufzudecken, ist es sinnvoll, nach Abspaltung des Trendes eine Spektralanalyse durchzuführen und anschließend die Schwingungsparameter zu schätzen. Die verbleibenden Residuen bilden trendfreie Zeitreihen.
  3. Kriging der Residuen.
    In diesem Schritt werden die Lücken in den Zeitreihen gefüllt und zweifelhafte Meßdaten durch Ersatzwerte substituiert.
  4. Modellierung des stochastischen Anteils mit einem EARMA-Modell.
    Dieser Schritt bietet die Möglichkeit, die Feinstruktur des stochastischen Anteils zu untersuchen und eine plausible Angabe über die Qualität der Meßdaten zu liefern.

Da grobe Fehler in Beobachtungsvektoren nahezu immer präsent sind, müssen in Schritt (2) und (3) robuste Verfahren eingesetzt werden. Nur so können der Einfluß grober Fehler unterdrückt und verläßliche Daten für Schritt (4) geliefert werden.

In dieser Arbeit werden das EARMA-Modell und das Krigingverfahren gemeinsam zur Analyse eindimensionaler Zeitreihen eingesetzt; es ist jedoch erstrebenswert, diese Verfahren auch auf die Analyse zweidimensionaler Zeitreihen sowie räumlicher Daten zu übertragen. Die Fortführung dieser Arbeit bestünde wesentlich darin, das EARMA-Modell zu erweitern und es zusammen mit dem Krigingverfahren auf die Analyse räumlicher Daten anzuwenden. Die Auswertung des EARMA-Modells muß immer in Verbindung mit der Varianzkomponentenschätzung durchgeführt werden. Der große Rechenaufwand legt es nahe, vereinfachte Verfahren zur Varianzkomponentenschätzung zu entwickeln, damit auch die Auswertung von Zeitreihen mit hoher Beobachtungsanzahl durchgeführt werden kann. Dabei ist der Einsatz robuster Verfahren zur Auswertung des EARMA-Modells unverzichtbar.
 


 
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