Heft 33/1988

Schriftenreihe
des Instituts für Geodäsie


 
Heft 33/1988

BORUTTA, Harald

Robuste Schätzverfahren für geodätische Anwendungen

Dissertation
158 S.

Auflage:  700

ISSN:  0173-1009

Inhaltsverzeichnis

Zusammenfassung

 


Vollständiger Abdruck der von der Fakultät für Bauingenieur- und Vermessungswesen der Universität der Bundeswehr München zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktor-Ingenieurs (Dr.-Ing.) genehmigten Dissertation.

Promotionsausschuß:  
Vorsitzender: Prof. Dr.-Ing. G. W. Hein
1. Berichterstatter: Prof. Dr.-Ing. W. Caspary
2. Berichterstatter: Prof. Ir. J. van Mierlo
(Universität Karlsruhe)

Die Dissertation wurde am 29. Februar 1988 bei der Universität der Bundeswehr München, D-8014 Neubiberg, Werner-Heisenberg-Weg 39, eingereicht und durch die Fakultät für Bauingenieur- und Vermessungswesen am 6. Mai 1988 angenommen.
 



Verkürztes Inhaltsverzeichnis

0.  Einführung 9
 
1.  Zur Geschichte der Parameterschätzung 12
 
2.  Grundlagen der Parameterschätzung 17
     2.1  Verlust- und Risikofunktion 17
     2.2  Klassifikatioon der Schätzfunktionen 20
     2.3  Lineare Modelle 24
     2.4  Schätzverfahren 26
     2.5  Normalverteilung und die Methode der kleinsten
            Quadrate

29
 
3.  Die Verteilung geodätischer Beobachtungen 31
     3.1  Der zentrale Grenzwertsatz 31
     3.2  Schiefe und Exzeß 32
     3.3  Empirische Verteilung geodätischer Beobachtungen 34
     3.4  Mischverteilungen 40
 
4.  Robuste Schätzverfahren 44
     4.1  Motivation und Zielsetzung 44
     4.2  Grundtypen robuster Schätzverfahren 46
     4.3  Robustheitskonzepte 50
     4.4  Robuste M-Schätzer 55
     4.5  Verallgemeinerungen für p-dimensionale Parameter-
            schätzungen

75
 
5.  Rechentechnische Realisierungen 81
     5.1  Newton-Raphson Methode 81
     5.2  Algorithmen auf der Grundlage winzorisierter
            Beobachtungen

83
     5.3  Iterative Anwendung des Kleinste-Quadrate
            Algorithmus

86
     5.4  Numerischer Vergleich 91
     5.5  Lösungsverfahren auf der Grundlage des Simplex-
            algorithmus

94
     5.6  Startlösungen für iterative Algorithmen 95
     5.7  Robuste Behandlung singulärer Ausgleichungs-
            aufgaben

96
 
6.  Zuverlässigkeitsmaße und robuste Schätzungen 101
     6.1  Kleinste Quadrate und Grobfehlersuche 101
     6.2  Innere und äußere Zuverlässigkeit 105
     6.3  Einfluß von Ausreißern auf robuste Parameter-
            schätzungen

107
 
7.  Ausgleichungen mit Bedingungen 115
     7.1  Bedingte Beobachtungen 115
     7.2  Gauß Markov Modell mit Restriktionen 119
     7.3  Bedingte Ausgleichung mit Parametern
            (Gauß-Helmert Modell)

120
 
8.  Geodätische Anwendungen 123
     8.1  Standpunktbestimmung bei freier Stationierung 123
     8.2  Netzausgleichung 128
     8.3  Bündelblockausgleichung 131
     8.4  Robuste Deformationsanalyse 139
 
9.  Zusammenfassung 145
 
Literaturverzeichnis 148
 

 
Zusammenfassung

Die vorliegende Arbeit setzt sich mit der geodätischen Anwendung robuster Schätzverfahren vom Maximum-Likelihood Typ (M-Schätzer) auseinander. Die untersuchten Schätzer ergeben sich aus einer Verallgemeinerung der klassischen Maximum-Likelihood Methode. Im Gegensatz zu den konventionell verwendeten Schätzern sind diese nicht durch eine punktuelle Optimalität für eine Modellverteilung gekennzeichnet, sondern sie verfügen über gute Eigenschaften in der Umgebung der Modellverteilung und tragen damit der Tatsache Rechnung, daß Modellverteilungen nur Approximationen der Realität sind.

Nach einem kurzen Abriß der historischen Entwicklung der Schätztheorie (Kap. 1) werden die für die Arbeit relevanten Grundlagen der Parameterschätzung zusammengefaßt (Kap. 2). Neben Beurteilungsmaßen für Schätzfunktionen werden die statistischen Eigenschaften der Methode der kleinsten Quadrate sowie die der Maximum-Likelihood Methode dargelegt. Im Fall normalverteilter Beobachtungen führen beide Schätzverfahren zur identischen Schätzfunktion für die Parameter. In diesem Fall erhält man die 'besten' Schätzer in dem Sinn, daß die erhaltenen Parameterschätzungen minimale Varianz besitzen.

Empirische Stichprobenverteilungen weisen gegenüber Modellverteilungen Abweichungen auf, die von Fall zu Fall unterschiedlich sind. Es wird allgemein gezeigt, daß eine Mischverteilung aus zwei Normalverteilungen mit gleichen Erwartungswerten aber unterschiedlichen Varianzen stets einen positiven Exzeß besitzt, also selbst keine Normalverteilung mehr ist. Insbesondere bei großen Stichproben ist eine starke Tendenz zur Ausbildung eines positiven Exzesses zu erkennen, die auf Inhomogenitäten in den zugrundeliegenden Meßprozessen schließen läßt.

In der mathematischen Statistik sind seit 25 Jahren robuste Schätzverfahren bekannt, die nicht bei einer bestimmten Verteilung optimal sind, sondern in einer Verteilungsumgebung günstige Eigenschaften besitzen. In Kapitel 4 werden die Robustheitskonzepte und die Grundtypen robuster Schätzverfahren vorgestellt, wobei besonders die Schätzer vom Maximum-Likelihood-Typ (M-Schätzer) näher betrachtet werden, weil diese aufgrund ihrer Flexibilität für geodätische Anwendungen sehr gut geeignet sind. Diese Klasse von Schätzern beinhaltet die klassischen Maximum-Likelihood-Schätzer als Spezialfälle. Im einzelnen werden M-Schätzer der Typen Huber, Hampel, Sinus und Biweight vorgestellt. Die Effizienz dieser M-Schätzer wird diskutiert. Die resultierenden Schätzungen sind konsistent und zudem asymptotisch normalverteilt. Wegen fehlender Invarianz- und Äquivarianzeigenschaften sind bei der Schätzung von Lageparametern simultane Skalenschätzungen erforderlich. Hierzu werden robuste Schätzer für die Standardabweichung angegeben. Darüberhinaus werden Verallgemeinerungen für p-dimensionale Parameterschätzungen sowie deren asymptotische Eigenschaften angegeben.

Im Gegensatz zu der Methode der Kleinsten Quadrate sind robuste Schätzfunktionen nur implizit gegeben. Zudem ist das resultierende Gleichungssystem nichtlinear. Daher werden im Kapitel 5 numerische Verfahren zur Realisierung von M-Schätzern diskutiert. Das Standardverfahren zur Auflösung nichtlinearer Gleichungssysteme, die Newton-Raphson Methode, ist wegen mangelnder numerischer Stabilität nicht geeignet. Stattdessen bieten sich Algorithmen an, die auf einer iterativen Modifikation der Beobachtungen oder auf einer iterativen Veränderung einer Pseudo-Gewichtsmatrix beruhen. Unter bestimmten Voraussetzungen lassen sich bei der Modifikation von Pseudo-Gewichten Beschleunigungen durch Verwendung von Aufdatierungsalgorithmen erreichen. Demgegenüber sind jedoch Algorithmen auf der Grundlage "winzorisierter" Beobachtungen schneller, weil der resultierende Algorithmus inversionsfrei ist. Die Leistungsfähigkeit der verschiedenen Verfahren wird an Testbeispielen empirisch untersucht. Die Problematik einer Startlösung für iterative Algorithmen wird diskutiert. Die dargestellten Algorithmen lassen ebenfalls die Behandlung singulärer Ausgleichungsaufgaben zu.

Ausgehend von bekannten Zuverlässigkeitskonzepten wird in Kapitel 6 die Zuverlässigkeit robuster Schätzungen analysiert. Im Gegensatz zu den klassischen Zuverlässigkeitsmaßen sind die Zuverlässigkeitsmaße robuster Schätzungen Zufallsgrößen, weil der Einfluß einer Beobachtung vom Ausfall der übrigen Stichprobe abhängig ist. Bei robusten Schätzungen ist der Einfluß ausschlagender Beobachtungen auf die Parameterschätzung begrenzt. Daher ergeben geeignete Schätzfunktionen deutlich günstigere Maße für die äußere Zuverlässigkeit als die Methode der Kleinsten Quadrate bei Anwendung bekannter Ausreißertests. An einem Beispiel wird eine vergleichende Untersuchung durchgeführt.

Neben dem Gauß-Markov Modell kennt die klassische Ausgleichungsrechnung mehrere Ausgleichungsmodelle, die mit Bedingungen (Restriktionen) formuliert werden. Im 7. Kapitel wird das Konzept der robusten M-Schätzung auf das Modell der bedingten Beobachtungen, das Gauß-Markov Modell mit Restriktionen und das Gauß-Helmert Modell angewandt.

Abschließend wird die Praxisrelevanz robuster M-Schätzungen an Beispielen aus der geodätischen Lagenetzausgleichung, bei der Bündelblockausgleichung sowie bei der Deformationsanalyse demonstriert.

Es zeigt sich, daß robuste M-Schätzungen den konventionell verwendeten MkQ-Schätzungen in Situationen mit Ausreißern im Datenmaterial deutlich überlegen sind. Grobe Fehler werden nicht verschmiert, sondern finden sich in voller Größe in den korrespondierenden Residuen wieder. Die Parameterschätzungen sind von diesen unbeeinflußt. Sie sind mit dem einer MkQ-Schätzung identisch, wenn zuvor alle Ausreißer aus dem Datensatz entfernt worden sind. In Datensätzen ohne Ausreißer ergeben geeignete M-Schätzungen und die MkQ identische Schätzungen. Weiterhin zeichnen sich M-Schätzungen gegenüber MkQ-Schätzungen mit konventionellen Ausreißertests durch eine höhere Zuverlässigkeit aus. Der Effizienzverlust an der Normalverteilung kann durch geeignete Wahl der Schätzfunktion unter 5% gehalten werden, so daß insgesamt die Qualität von M-Schätzungen bei geodätischen Anwendungen deutlich über den MkQ-Schätzungen liegt.
 


 
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