Heft 29/1987

Schriftenreihe
des Instituts für Geodäsie


 
Heft 29/1987

GLASMACHER, Hans

Die Gaußsche Ellipsoid-Abbildung mit komplexer Arithmetik und numerischen Näherungsverfahren

Dissertation
127 S.

ISSN:  0173-1009

Inhaltsverzeichnis

Zusammenfassung

 


Vollständiger Abdruck der von der Fakultät für Bauingenieur- und Vermessungswesen der Universität der Bundeswehr München zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktor-Ingenieurs (Dr.-Ing.) genehmigten Dissertation.

Promotionsausschuß:  
Vorsitzender: Prof. Dr. rer.nat. K. Wichmann
1. Berichterstatter: Prof. Dr.-Ing. A. Schödlbauer
2. Berichterstatter: Prof. Dr.-Ing. S. Heitz  (Universität Bonn)

Die Dissertation wurde am 17. Februar 1987 bei der Universität der Bundeswehr München, D-8014 Neubiberg, Werner-Heisenberg-Weg 39, eingereicht und durch die Fakultät für Bauingenieur- und Vermessungswesen am 17. Juli 1987 angenommen.
 



Verkürztes Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung 9
    1.1  Der erste Ansatzpunkt 10
    1.2  Der zweite Ansatzpunkt 10
    1.3  Der dritte Ansatzpunkt 10
    1.4  Der vierte Ansatzpunkt 11
    1.5  Der fünfte Ansatzpunkt 11
    1.6  Der sechste Ansatzpunkt 12
 
2  Konforme Abbildungen durch komplexe Funktionen 13
    2.1  Konforme Abbildungen zwischen verschiedenen Flächen 14
    2.2  Isometrische Koordinaten des Rotations-Ellipsoids 16
    2.3  Definition der Gaußschen Konformen Abbildung 17
 
3  Numerische Integrations- und Umkehrungs-Verfahren 20
    3.1  Berechnung Bestimmter Integrale 21
    3.2  Berechnung von Anfangswert-Aufgaben 28
    3.3  Numerische Umkehrungs-Verfahren 30
 
4  Die Berechnung der Gaußschen Koordinaten 34
    4.0  Taylorreihe im Fußpunkt 34
    4.1  Lösungen mit der Komplexen Länge 36
    4.2  Lösungen mit der Komplexen Breite 43
    4.3  Vergleich der Verfahren 48
 
5  Die Umkehrung der Gaußschen Abbildung 53
    5.1  Umkehrungen mit der Komplexen Länge 54
    5.2  Umkehrungen mit der Komplexen Breite 60
    5.3  Vergleich der Verfahren 65
 
6  Maßstabsfaktor und Meridiankonvergenz 69
    6.1  Berechnung aus Taylorreihen 70
    6.2  Berechnung aus Trigonometrischen Reihen 72
    6.3  Berechnung aus der Komplexen Breite 73
 
7  Die Polar-Transformationen für Gaußsche Koordinaten 74
    7.1  Berechnung des Gaußschen Krümmungsradius 74
    7.2  Die Differentialgleichungen der Polartransformation 76
    7.3  Vergleich der Polar-Transformationen 84
 
8  Die Meridianstreifen-Transformation 85
    8.1  Transformation mit komplexer Reihe 85
    8.2  Transformation durch Fixpunkt-Ansatz 87
    8.3  Transformation mit Richtungswinkel und Strecke 88
    8.4  Vergleich der Meridianstreifen-Transformationen 89
 
Zusammenfassung der Ergebnisse 91
 
A  Anhang 93
    A 1  Zusammenstellung der Ellipsoidparameter 93
    A 2  Zusammenstellung der komplexen Funktionen 95
    A 3  Netzdarstellungen der Koordinatensysteme 96
 
B  Rechenbeispiele 103
    B 4  Die Berechnung der Gaußschen Koordinaten 104
    B 5  Die Umkehrung der Gaußschen Abbildung 110
    B 6  Maßstabsfaktor und Meridiankonvergenz 116
    B 7  Die Polar-Transformationen für Gaußsche Koordinaten 118
    B 8  Die Meridianstreifen-Transformation 121
 
C  Literatur-Verzeichnis 123
 
D  Lebenslauf 127
 

 
Zusammenfassung der Ergebnisse

Für die verschiedenen Rechenaufgaben mit den Gaußschen Ellipsoid-Koordinaten wurden Algorithmen angegeben, die bei Verwendung in den heute als Rechenhilfsmittel üblichen programmierbaren Computern unter verschiedenen Gesichtspunkten optimale Eigenschaften haben. Ansatzpunkte waren dabei die konsequente Verwendung der Arithmetik der komplexen Zahlen sowie verschiedener numerischer Näherungsverfahren.

Dabei hat sich gezeigt, daß die klassischen Lösungsansätze mit Taylor- und Trigonometrischen Reihen in komplexer Arithmetik durchaus computergerecht formuliert werden können, selbst wenn für die numerische Rechnung eine Trennung der reellen und imaginären Anteile notwendig sein sollte. Die Trigonometrischen Reihen haben dabei den Vorteil, das Ellipsoid "im Ganzen" abzubilden.

Die Anwendung numerischer Integrationsverfahren erfordert die Verwendung der Komplexen Breite, zu deren Berechnung neben Lösungen über die Komplexe Länge auch eine direkte numerische Integration angegeben wird. Die numerischen Verfahren bilden ebenfalls das Ellipsoid "im Ganzen" ab. Außerdem lassen sie durch einfachen Austausch der Differentialquotienten die Berechnung verschiedener konformer Abbildungen auch auf anderen Bezugsflächen zu. Es werden mindestens ein Verfahren für Bestimmte Integrale und eines für Anfangswert-Aufgaben benötigt.

Bei den gegenseitigen Vergleichen der Rechenmethoden schneiden jedoch bei Beschränkung auf ellipsoidische Bezugsflächen die komplexen Trigonometrischen Reihen am besten ab.

Für die Umkehr-Abbildung gelten weitgehend die gleichen Aussagen. Sie kann aber auch einfach iterativ durch Umkehrung des gesamten Abbildungsvorganges mit wenigen zusätzlichen Programmbefehlen über ein Newton-Verfahren erfolgen. Für die Berechnung der Gaußschen Koordinaten aus den Geographischen sowie der Umkehrabbildung können als Bausteine die gleichen numerischen Integrationsverfahren verwendet werden.

Der Maßstabsfaktor und die Meridiankonvergenz werden durch Differentiation der Abbildungsfunktion berechnet. Die Berechnung kann daher in gleicher Weise wie die der Koordinaten erfolgen, nämlich durch Taylor- oder Trigonometrische Reihenentwicklung unter Verwendung der gleichen Koeffizienten oder in geschlossener Form aus der Komplexen Breite.

Für die Polar-Transformation zwischen ellipsoidischen Richtungswinkeln und Strecken und den Gaußschen Koordinaten wird der Gaußsche Kürmmungsradius verwendet, der jedoch eine Funktion der meistens nicht gegebenen Geographischen Breite ist. Zu seiner direkten Berechnung aus den Gaußschen Koordinaten werden zwei verschiedene Verfahren angegeben.

Damit ist eine wesentliche Voraussetzung für die Berechnungen der Polar-Transformationen mit numerischen Integrationsverfahren erfüllt. Dazu wurden die für die Geographischen Koordinaten bekannten Methoden der Runge-Kutta Integration und deren Umkehrung durch Einschwenken in das Gaußsche System übertragen. Als Alternative werden die Absteckelemente mit Hilfe von Abbildungs-Reduktionen über die einfache Keplersche Faßregel berechnet, die Koordinaten-Übertragung erfolgt dann über einen Fixpunktansatz. Die neu entwickelten Reduktionen haben eine beachtenswerte Genauigkeit bei geringem Rechenaufwand.

Die Meridianstreifen-Transformation kann über eine Taylor-Reihenentwicklung mit komplexen Koeffizienten und als Fixpunktverfahren durchgeführt werden. Für die meisten Anwender wird jedoch die Lösung der Streifentransformation über die bei Feld-Vermessungen häufig verwendeten Polar-Transformationen den geringsten Aufwand erfordern.

Entsprechend der Zielsetzung konnten mit Hilfe der in der Einleitung einzeln aufgeführten Ansatzpunkte für alle Rechenaufgaben mit den Gaußschen Ellipsoid-Koordinaten Lösungswege gefunden werden, die zur Verwendung in kleinen Computern besser geeignet sind als die bisher gebräuchlichen.
 


 
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