Heft 12/1984

Schriftenreihe
des Instituts für Geodäsie


 
Heft 12/1984

SCHWINTZER, Peter

Analyse geodätisch gemessener Punktlageänderungen mit gemischten Modellen

Dissertation
157 S.

ISSN:  0173-1009

Inhaltsverzeichnis

Zusammenfassung

 


Vollständiger Abdruck aus der vom Fachbereich Bauingenieur- und Vermessungswesen der Hochschule der Bundeswehr München zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktor-Ingenieurs (Dr.-Ing.) genehmigten Dissertation.

Promotionsausschuß:  
Vorsitzender: Prof. Dr. rer.nat. K. Wichmann
1. Berichterstatter: Prof. Dr.-Ing. W. Caspary
2. Berichterstatter: Prof. Dr.-Ing. W. Welsch
3. Berichterstatter: Prof. Dr.-Ing. E. Grafarend,
Universität Stuttgart

Die Dissertation wurde am 26.10.1983 bei der Hochschule der Bundeswehr München, D-8014 Neubiberg, Werner-Heisenberg-Weg 39, eingereicht und durch den Fachbereich Bauingenieur- und Vermessungswesen am 12.12.1983 angenommen.
 



Inhaltsverzeichnis

1.  Einleitung 7
 
2.  Lineare Modelle mit Zufallsparametern 11
     2.1  Modell- und Begriffsdefinitionen 11
     2.2  Ableitung der Schätzfunktionen nach unterschiedlichen
            Methoden

15
            2.2.1  Ableitung der Schätzfunktionen aus dem statistischen
                      Regressionsmodell

16
            2.2.2  Ableitung der Schätzfunktionen aus dem Gauß-
                      Markoff-Modell mit erweitertem Beobachtungs-
                      vektor


20
            2.2.3  Ableitung der Schätzfunktionen aus dem Gauß-
                      Markoff-Modell mit geänderter Gewichtsmatrix der
                      Beobachtungen


22
     2.3  Behandlung von Rangdefekten 23
            2.3.1  Spaltensinguläre Koeffizientenmatrix der festen
                      Parameter

23
            2.3.2  Singuläritäten im stochastischen Teil des Modells 25
     2.4  Explizite Ableitung der Schätzfunktionen unter Einschluß
           einer möglicherweise singulären Kofaktorenmatrix der
           Beobachtungen


33
            2.4.1  Parameterschätzung 34
            2.4.2  Genauigkeitsschätzung 38
            2.4.3  Geometrische Deutung der Parameterschätzung
                      im gemischten Modell

40
     2.5  Quadratische Formen im gemischten Modell 42
            2.5.1  Ableitung der formelmäßigen Zusammenhänge 43
            2.5.2  Erwartungswerte und Verteilungen 46
            2.5.3  Quadratische Formen bei nichtlinearer Trendfunktion
 
51
 
3.  Analyse von Punktlageänderungen zwischen zwei
     Beobachtungsepochen

53
     3.1  Das gemischte Analysemodell mit Trend- und
            Zufallsanteil

54
            3.1.1  Ausgleichungsansatz und Modellvoraussetzungen 56
            3.1.2  Gewichtung der Zufallsparameter 60
                      3.1.2.1  Die Struktur der Varianz-Kovarianz-Matrix
                                   für die Zufallsparameter

61
                      3.1.2.2  Einfluß von Gewichtsänderungen der Zufalls-
                                   parameter auf die Ausgleichung

67
     3.2  Modellüberprüfung und Modellanpassung 72
            3.2.1  Globaltest der Punktlageänderungen und der
                      Verbesserungen im festen Gauß-Markoff-Modell

74
            3.2.2  Schätzung der endgültigen Varianz-Kovarianz-
                      Matrix für die Zufallsparameter und Lokalisierung
                      von Einzelpunktbewegungen


76
            3.2.3  Globaltest der Zufallsparameter auf Modellrelevanz 86
            3.2.4  Signifikanztests der Trendparameter durch
                      Cholesky-Zerlegung mit spezieller Pivotsuche

86
     3.3  Der Sonderfall einer Punktanalyse ohne Trendfunktion
            im Vergleich mit der Methode der Klaffungszerlegung

93
 
4.  Erweiterung der Analyse von Punktlageänderungen
     auf die Bearbeitung mehrerer Epochen

97
     4.1  Das gemischte Modell für die Mehrepochenanalyse 97
            4.1.1  Ausgleichungsansatz und Modellvoraussetzungen 97
            4.1.2  Gewichtung der Zufallsparameter 106
     4.2  Modelüberprüfung und Modellanpassung bei einer
            gleichzeitigen Auswertung aller Beobachtungsepochen

107
           4.2.1  Globaltest der Punktbewegungen und der
                     Verbesserungen im festen Gauß-Markoff-Modell

107
           4.2.2  Schätzung der Varianz der Gewichtseinheit für die
                     Zufallsparameter und Lokalisierung von
                     abweichenden Beobachtungsepochen


109
           4.2.3  Signifikanztests der Trendparameter 113
     4.3  Anwendung der sequentiellen Parameterschätzung
            auf die Mehrepochenanalyse

113
           4.3.1  Vorgehensweise 113
           4.3.2  Berechnungsformeln für die Parameter- und die
                     Genauigkeitsschätzung

115
           4.3.3  Ermittlung von Modellabweichungen bei Hinzunahme
                     einer neuen Beobachtungsepoche

118
           4.3.4  Abrißartiger Vergleich mit der diskreten Kalman-
                     Filterung

118
     4.4  Der Sonderfall einer Mehrepochenanalyse ohne
            Trendfunktion

120
 
5.  Numerische Beispiele 121
     5.1  Zweiepochenanalyse 121
           5.1.1  Simuliertes zweidimensionales Netz 121
           5.1.2  Dreidimensional gemessenes Staudamm-
                     überwachungsnetz

130
     5.2  Mehrepochenanalyse 141
 
6.  Zusammenfassung 150
 
Literaturverzeichnis 153
 
Lebenslauf 157
 

 
Zusammenfassung

In der vorliegenden Arbeit wird die Anwendung gemischter Modelle auf die Analyse geodätisch gemessener Punktdeformationen beschrieben. Gemischte Modelle sind dadurch gekennzeichnet, daß neben den deterministischen Parametern Zufallsparameter auftreten, deren Erwartungswerte a priori als bekannt vorausgesetzt werden. Darüberhinaus müssen a priori Annahmen über die gegenseitigen Korrelationen der Zufallsparameter getroffen werden. Im Unterschied zu dem Kollokationsmodell schließen gemischte Modelle auch den Fall verschwindender Korrelationen ein. Dieser Fall ist bedeutsam, da das Ziel der Analyse in einer optimalen Filterung der Beobachtungen und nicht in der Prädiktion von Zufallsgrößen liegt. Die Erweiterung des Analysemodells um einen Vektor von Zufallsgrößen soll die unregelmäßigen Punktbewegungen oder die Modellrestfehler, die sich einer deterministischen Beschreibung entziehen und die auch nicht durch die Meßungenauigkeit erklärt werden können, berücksichtigen. Diese Modellrestfehler können sowohl bei einer Generalisierung mittels eines Approximationsmodells als auch bei einer Einzelpunktanalyse ohne deterministischen Modellansatz auftreten.

Nach einer allgemeinen Einführung in die Problematik beschäftigt sich das zweite Kapitel mit der Ausgleichung in gemischten Modellen. Es werden zunächst verschiedene Wege für die Ableitung der Schätzfunktion aller im Modell auftretenden unbekannten Größen aufgezeigt, wobei sich unterschiedliche Aspekte für die Interpretation der Größen und für die Programmierung ergeben. Ausführlich wird auf die Behandlung von Rangdefekten insbesondere im stochastischen Teil des Modells eingegangen, da dieses Problem in der Deformationsanalyse von großer Bedeutung ist. Datumsdefekte in den Netzausgleichungen führen zu singulären Kofaktorenmatrizen der in die Folgeausgleichungen zur Deformationsanalyse als Beobachtungen eingeführten Punktkoordinaten. Es wird gezeigt, in welcher Weise der Vektor der Zufallsparameter in einem gemischten Modell transformiert werden muß, um den bei einem Rangabfall implizit im Koordinatenvektor enthaltenen Bedingungen Rechnung zu tragen. Daneben werden die Unterschiede zwischen dem Gauß-Markoff-Modell und dem gemischten Modell sowohl analytisch als auch in vereinfachter Form geometrisch herausgearbeitet. Schließlich werden die grundlegenden Beziehungen zwischen den quadratischen Formen der in dem gemischten Modell auftretenden Größen wie die Erwartungswerte und die Verteilungen dieser quadratischen Formen abgeleitet.

Das dritte Kapitel behandelt die Analyse der zwischen zwei Beobachtungsepochen aufgetretenen Punktverschiebungen in einem Zweiepochenmodell. Dabei sind neben der Schätzung der deterministischen Parameter einer generalisierenden Approximationsfunktion davon abweichende große Einzelpunktverschiebungen zu lokalisieren und die Varianzkomponenten zu schätzen, mit denen die Korrelationsmatrix der Zufallsparameter in die Varianz-Kovarianz-Matrix überführt werden kann. Die Korrelationsmatrix der Zufallsparameter muß a priori mittels geeigneter Korrelationsfunktionen oder als Diagonalmatrix aufgestellt werden. Die vom Generalisierungsmodell abweichenden Einzelpunktverschiebungen werden analog der Suche nach Ausreißern bei geodätischen Meßreihen mittels statistischer Testverfahren lokalisiert. In der weiteren Behandlung festgestellter Einzelpunktverschiebungen ergeben sich, je nachdem, ob die Kofaktorenmatrix der Koordinatenunterschiede regulär oder singulär ist, Unterschiede. Die Varianzkomponenten für die Zufallsparameter werden iterativ geschätzt, wobei auf die aus der Literatur bekannten Verfahren zurückgegriffen werden kann. An den Varianzkomponenten kann die Größenordnung der unregelmäßigen Modellrestfehler abgelesen werden. Da sich Einzelpunktlokalisierung und Varianzkomponentenschätzung gegenseitig beeinflussen, sind diese Schritte eventuell mehrmals zu durchlaufen. Abschließend werden die Parameter der generalisierenden Funktion auf Signifikanz untersucht. Bei dem beschriebenen Verfahren (Cholesky-Zerlegung mit Pivotsuche) wird die quadratische Form der Parameter in unkorrelierte Anteile zerlegt. In einem multiplen statistischen Test wird anschließend die Parameterkombination ausgewählt, die modellrelevant ist. Die Vorgehensweise bei der Zweiepochenanalyse beinhaltet als Sonderfall die Einzelpunktanalyse in einem Modell ohne deterministischen Anteil. Die sich dabei ergebenden Gemeinsamkeiten und Unterschiede im Vergleich mit der gebräuchlichen Methode der Klaffungszerlegung werden herausgearbeitet.

Das vierte Kapitel behandelt die gleichzeitige Bearbeitung mehrerer Beobachtungsepochen in einem gemeinsamen Auswertemodell (Mehrepochenanalyse). Die Mehrepochenanalyse erlaubt die Modellierung zeitlicher Bewegungsabläufe. Methodisch ergeben sich hinsichtlich der Vorgehensweise bis zur endgültigen Modellfindung gegenüber der Zweiepochenanalyse keine grundlegenden Erweiterungen. An die Stelle der Tests zur Einzelpunktanalyse treten bei der Mehrepochenanalyse jedoch die Modelltests zur Lokalisierung der von dem Generalisierungsmodell abweichenden Beobachtungsepochen. Sind die einzelnen Beobachtungsepochen gegenseitig unkorreliert, so ergeben sich erhebliche rechentechnische Vorteile, wenn statt einer Ausgleichung in einem Guß die Parameter sequentiell geschätzt werden. Dabei auftretende Parallelen zur Kalman-Filterung, wo ebenfalls ein gemischtes Modell benutzt wird, werden aufgezeigt.

An drei numerischen Beispielen wird schließlich im fünften Kapitel der Ablauf der Berechnungen und der statistischen Tests bei verschiedenen Deformationsanalysen demonstriert. Die Zweiepochenanalyse wird auf ein zweidimensionales simuliertes Netz mit simulierten Deformationen und auf ein dreidimensional gemessenes Talsperrenüberwachungsnetz angewendet. Für die Mehrepochenanalyse werden die Höhenbeobachtungen von sechs Beobachtungsepochen des Talsperrenüberwachungsnetzes herangezogen. Die Ergebnisse zeigen die Wirksamkeit der vorgestellten Ausgleichungs- und Teststrategien.
 


 
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