GFEM (HTML/German)

GFEM - Generalized Finite Element Methods

GFEM bietet eine flexible Möglichkeit um beliebige Ansatzfunktionen im Rahmen einer FEM-Berechnung zu verwenden.


Der Ansatzraum

Der Aufbau des Ansatzraumes ist der Hauptunterschied zur gewöhnlichen FEM. Die Ansatzfunktionen werden mit "Hütchenfunktionen", die eine Partition of Unity bilden, multipliziert. Dabei wird mit einem globalen Koordinatensystem gearbeitet. Die von einem Hütchen bedeckten Elemente werden auch Patch genannt. Dadurch bleibt der Einfluss einer beliebigen Ansatzfunktionen auf die Elemente des jeweiligen Patches beschränkt.

Die Abbildungen zeigen ein vernetztes Gebiet und eine der möglichen Hütchenfunktionen.

Im Gegensatz zu globaleren Methoden kann weiterhin elementweise integeriert werden. Die günstige Eigenschaft der Bandstruktur von FEM-Systemmatrizen bleibt ebenfalls erhalten.

Der Ansatzraum kann sowohl komplett mit GFEM-Ansätzen aufgebaut werden (dieser Weg wurde in den folgenden Beispielen beschritten) oder als Kombination eines gewöhnlichen FEM-Ansatzraumes mit ausgewählten GFEM-Ansätzen realisiert werden.


Beispiel - Laplace mit Singularität

Ansatz

Als Beispiel für die Möglichkeiten der GFEM soll nun die Lösung des Laplace-Problems auf einem Gebiet mit einspringender Ecke bestimmt werden.

Die exakte Lösung weisst an der einspringenden Ecke eine Singularität auf. Für ein unendlich ausgedehntes Gebiet ist eine analytische Lösung vorhanden.

Die GFEM erlaubt es, die analytische Lösung mit in den Ansatzraum aufzunehmen. Die Abbildungen zeigen die analytische Lösung sowie das Produkt aus Hütchenfunktion und Lösung. Dieses Produkt wird in den betroffenen Elementen als Ansatz verwendet.

Vergleich



Die Abbildungen zeigen die Verschiebungen für folgende Rechnungen:

  • 600 Elemente, Ansatzgrad 1
  • 24 Elemente, Ansatzgrad 5
  • 24 Elemente, Ansatzgrad 5 + analytische Lösung der Singularität


Obiges Diagramm trägt den globalen Fehler in der Energienorm über der Anzahl der Unbekannten auf. Deutlich ist die flache, lineare Konvergenz der h-Version zu sehen.

Die p-Version zeigt in glatten Bereichen exponentielle Konvergenz. Durch die Singularität in diesem Beispiel erreicht auch diese asymptotisch nur noch lineare Konvergenz. Sie konvergiert aber immerhin doppelt so schnell wie die h-Version.

Die durch die analytische Lösung angereicherte p-Version erreicht in diesem Fall exponentielle Konvergenz. Der singuläre Anteil wird voll durch den analytischen Ansatz abgedeckt, es verbleibt eine glatte Lösung die mit optimalem Aufwand durch einen p-Ansatz gelöst werden kann.


Eigenschaften

Nachteile

Einige Eigenschaften, die bei der Implementation einer GFEM besonderer Beachtung bedürfen sollen nicht verschwiegen werden.
  • Der GFEM-Ansatzraum hat in der Regel linear abhängige Ansatzfunktionen. Dies macht -> spezielle Gleichungslöser erforderlich.
    Die Anzahl der Unbekannten, die nötig sind um eine vorgegebene Genauigkeit zu erreichen ist allerdings recht gering. Dies erleichtert die Lösung des Gleichungssystem.
  • Das Aufstellen der Elementsteifigkeitsmatrizen erfordert eine numerische Integration hoher Qualität mit daraus folgendem Aufwand. Besonders betroffen sind hiervon die analytischen Ansätze.
    Auch hier hilft die geringe Anzahl der Unbekannten, besonders im Vergleich zur h-Version.

Vorteile

  • Zur Steigerung der Genauigkeit sind keine Netzverfeinerungen nötig.
  • Einfacher und flexibler Aufbau des Ansatzes. In jedem Element kann ein beliebiger p-Ansatz und bei Bedarf weitere Ansätze (z.B. analytische Teillösungen oder vorberechnete Referenzlösungen) frei kombiniert werden.
    Der Übergang zwischen Elementen mit verschiedenen Ansätzen verursacht keinen zusätzlichen Aufwand.