Finite-Elemente-Programmsystem für Platten

Finite-Elemente-Programmsystem für Platten

Plattenberechnung

Nach den Stabtragwerken gehören die Plattentragwerke zu den wichtigsten Tragwerksmodellen des Bauwesens. Die Untersuchung von Plattentragwerken stellt jedoch an den Ingenieur und an das Programmsystem ungleich höhere Anforderungen als die Analyse von Stabtragwerken.

Das vorliegende Programmsystem ist mit dem Ziel entwickelt worden, die Aufmerksamkeit des Anwenders voll und ganz auf die genaue Beschreibung des Plattenproblems und auf die Auswertung der Ergebnisse zu lenken, während das Programm selbständig und vollautomatisch dafür sorgt, daß alle Fallstricke der Plattentheorie und der Finite-Elemente-Approximation korrekt behandelt werden.

Grundlagen aus der Plattentheorie

Randschicht

Das Programmsystem baut auf die sogenannte Mindlin-Reißner-Theorie auf, d.h. auf eine Theorie, die auch Schubverformungen einschließt und somit auch bei moderat dicken Platten noch Gültigkeit hat. Bei der Berechnung solcher Platten sind viele Besonderheiten zu beachten. So weist die Lösung in den Schnittgrößen Unendlichkeitsstellen an einspringenden Ecken oder an Stellen mit einem Wechsel in der Lagerungsbedingung auf. An gelenkig gelagerten oder ungestützten Plattenrändern treten sehr steil ansteigende Querkräfte auf, sogenannte Randschichten (boundary layers). Solche Effekte, die in der exakten Lösung enthalten sind, kann ein Finite-Elemente-Programm nur dann richtig annähern, wenn spezielle Maßnahmen wie lokale Netzverfeinerungen oder schmale Elementschichten längs der Plattenränder durchgeführt werden.

Das nebenstehende Bild zeigt den Querkraftverlauf in einer vierseitig gelenkig gelagerten, durch eine Gleichlast belasteten Platte. Die Randschichten sind deutlich erkennbar.

Die Theorie der Mindlin-Reißner-Platte läßt überdies keine punktförmige Belastung oder Punktstützung zu. Vermeintliche "Punktstützen", z.B. bei Lagerung einer Geschoßdecke auf Pfeilern, müssen also genauer beschrieben werden. Im vorliegenden Programm wird die Stütze als elastisch gebetteter kleiner Teilbereich der Platte wiedergegeben, wobei die Wirkung der Stütze in der Mitte der Stütze konzentriert werden kann. Der Benutzer gibt dabei lediglich die Querschnitts- und Materialdaten der Stütze ein, alles übrige erledigt das Programm von selbst.

Häufig werden Platten auf Unterzügen gelagert. Die Mindlin-Reißner-Platte läßt sich konsistent mit schubweichen Timoshenko-Balken koppeln. Dieses Modell wird im vorliegenden Programmsystem für das kombinierte System "Platte mit Unterzug" angeboten.

Strategie der Finite-Elemente-Approximation

Das vorliegende Programmsystem verfügt über die Möglichkeit, ohne Netzverfeinerung die Qualität der Finite-Elemente-Lösung zu erhöhen. Dazu werden die Ansätze in jedem Element (auch lokal) durch Steigerung des Polynomgrades verbessert (p-Version der Finite-Elemente-Methode).

Finite-Elemente-Netz

Eine solche Strategie ist aber nur dann wirklich herausragend effizient, wenn man gleichzeitig durch gezieltes Design des Finite-Elemente-Netzes dafür sorgt, daß die lokalen Effekte wie Spannungssingularitäten und Randschichten durch entsprechende Verfeinerungszonen beschrieben werden. Unterläßt man dies, erhält man überall oszillierende Lösungen (sogenannter Pollution-Effekt). An den Ecken der Platte treffen Rand- und Punktverfeinerungen zusammen.

Die Stellen, an denen das Netz verfeinert werden muß, sind schon vor Start der Berechnung bekannt und werden automatisch ermittelt und berücksichtigt. Das Netz muß aber noch weiteren Bedingungen genügen: An allen Stellen, wo die Belastung sich sprunghaft ändert, wo Unterzüge an die Platte angeschlossen sind oder wo Teilbereiche elastisch gebettet sind (z.B. an Stützen), muß das Finite-Elemente-Netz an den lokalen Gegebenheiten ausgerichtet sein, damit auch die lokalen Verläufe der Schnittgrößen noch genau genug abgebildet werden können. Unser Bild zeigt eine Platte, die durch eine blockförmige Last beansprucht ist und die auf Stützen gelagert ist. Man erkennt, daß das Netz allen lokalen Gegebenheiten zu entsprechen sucht.

Genauigkeitsschätzung

Auf einem solchen, ganz speziell auf den aktuellen Lastfall zugeschnittenen Finite-Elemente-Netz führt unser Programm solange eine automatische Polynomgraderhöhung durch, bis die globale Genauigkeit ausreicht. Dabei stehen verschiedene Methoden der globalen Genauigkeitsschätzung zur Verfügung (Extrapolation, Fehlerschätzer auf Basis lokaler L²-Projektion der Spannungen).

Am Ende der Berechnung kann sich der Benutzer die globale Konvergenz der Finite-Elemente-Näherungslösung gegen die exakte Lösung in einem Diagramm anzeigen lassen. Durch die Kombination von Netzverfeinerung und Polynomgraderhöhung kann mit einem minimalen Einsatz der Ressourcen Rechenzeit und Speicherplatz eine optimale Genauigkeit erzielt werden. Gerade im Bauwesen, wo später für Bemessungszwecke in weiten Teilbereichen der Struktur Ergebnisse mit hinreichender Genauigkeit benötigt werden, ist der globale Fehler in der Energienorm ein sehr gutes Kriterium für die Qualität eines Finite-Elemente-Ergebnisses. In unserem im Bild dargestellten Beispiel einer auf Stützen gelagerten Platte konnte die geforderte Genauigkeit von 0.1% in der Energienorm mit Ansätzen sechster Ordnung, d.h. mit etwa 52.000 Unbekannten, erreicht werden. Die Rechenzeit betrug auf einem 700Mhz-PC etwas mehr als eine Minute.

Auswertung der Ergebnisse

Da das Programm für jeden Lastfall ein individuelles Finite-Elemente-Modell verwendet und eine individuelle Abstufung des Polynomgrades vornimmt, ist zur Auswertung der Ergebnisse eine Technik notwendig, die vom Finite-Elemente-Netz unabhängig ist.

Auswertungsnetz

Für alle Zwecke der Lastfallüberlagerung, Bestimmung von Schnittgrößengrenzlinien, Bemessung usw. wird daher ein von den Lastfällen und den Finite-Elemente- Netzes völlig unabhängiges "Auswertungsnetz" über die Struktur gelegt, das als Grundlage der Ergebnisvisualisierung dienen kann und einen groben Überblick über den globalen Lösungsverlauf gestattet. Die Feinheit des Auswertungsnetzes (eines reinen Dreiecksnetzes) kann vom Benutzer jederzeit (auch nach der Berechnung) geändert werden. Die Ergebnisse werden dann entsprechend für alle Knoten des Auswertungsnetzes neu ermittelt.

Farbdarstellung

Höhenlinien

Das Auswertungsnetz dient aber nur zur globalen Orientierung und zur Erzeugung von Höhenlinienplots, farbigen und schattierten Ergebnisdarstellungen. Zur lokalen Auswertung der Ergebnisse an bestimmten Stellen stehen zusätzlich die Auswertungselemente "Schnittlinie" und "Einzelpunkt" zur Verfügung. Mit Hilfe dieser Auswertungselemente können an besonders interessanten Stellen lokale Ergebnisse in beliebig hoher Auflösung ausgewertet werden. Außerdem können Ergebnisse auch im integralen Mittel usw. ermittelt werden.

Schnittlinie

In unserem Beispiel sind die Momente längs eines Schnittes durch die Stützenreihe dargestellt. Es wird deutlich, daß sich durch das gewählte Stützenmodell "in der Stützenmitte konzentrierte elastische Bettung" automatisch ausgerundete Stützmomentenverläufe ergeben, die völlig frei von Oszillationen oder Sprüngen den exakten Verlauf sehr gut wiedergeben.

Ist man ganz besonders an den Ergebnissen einzelner Stellen des Tragwerks interessiert (z.B. am Moment über der am stärksten belasteten Stütze), so kann man sich auch die Konvergenz dieses speziellen Ergebniswertes während der adaptiven Finite-Elemente-Berechnung in einem Diagramm anzeigen lassen.