Mixed Cell Complex Partition of Unity Method

Mixed Cell Complex Partition Mixed Cell Complex

Bei der numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen mit Galerkin-Methoden hat man prinzipiell die Auswahl zwischen netzbasierten und "netzfreien Methoden". Im Falle der netzbasierten Methoden (Methode der finiten Elemente) werden Ansatzfunktionen mit lokalem Träger konstruiert, indem im Gebiet und auf dem Gebietsrand Knoten angeordnet und mit Hilfe einer Delaunay-Triangulierung vernetzt werden. Die Träger der knotenorientierten Ansatzfunktionen sind identisch mit der Vereinigungsmenge der an den jeweiligen Knoten inzidenten Zellen der Triangulierung. Die Überlappungsbereiche zwischen den Trägern verschiedener Ansatzfunktionen stellen sich als Vereinigungsmenge von Dreieckszellen (in 2D) dar. - Bei netzfreien Methoden hingegen werden die lokalen Träger der Ansätze über sphärischen oder Tensorproduktgebieten definiert. Die Überlappungsbereiche solcher Zellen haben eine unregelmäßige Form, was die numerische Auswertung der schwachen Form deutlich erschwert. Außerdem ist es insbesondere bei Einsatz von lokalen Ansatzfunktionen höherer Ordnung oder p-adaptiver Berechnung schwierig, überall eine ausreichende Überdeckung des Gebietes sicherzustellen.

Im vorliegenden Projekt wird daher eine Art "netzfreier" Methode konstruiert, bei der sich die Träger der lokalen Ansätze in wohldefinierter Weise ausschließlich in Rechteck- und Dreiecksgebieten überlappen. Die Integration der schwachen Form ist somit problemlos. Es können beliebige Überlappungsgrade der benachbarten Träger erreicht werden. Will man eine Approximation mit lokalen Polynomen höherer Ordnung erzielen, so greift man innerhalb der "Mixed Cell Complex"-Methode die Idee der "Partition-of-Unity-Methode" auf: Die knotenorientierten Ansätze werden als "Aufteilung der Eins" benützt und lokal mit Polynomen höherer Ordnung (auf denselben Trägergebieten) multipliziert. Man erreicht so eine Methode, die der "Generalized Finite Element Method" (GFEM) oder den "hp-Clouds" recht ähnlich ist. Da sich die benachbarten Träger aber immer nur teilweise überlappen und insbesondere jedes Trägergebiet nur genau einen Knoten der Triangulierung enthält, entstehen keine linearen Abhängigkeiten zwischen den knotenbasierten Ansätzen höherer Ordnung. Das Kernproblem der GFEM wird somit überwunden, und Multilevel-Löser werden anwendbar. Die erforderlichen Datenstrukturen sind wesentlich einfacher als bei einer konventionellen p-FEM, dennoch sind lokale Abstufungen des Ansatzgrades realisierbar. Nur beim Einbau der Dirichlet-Randbedingungen muß ein Preis für die Annehmlichkeiten der "Mixed Cell Complex Partition-of-Unity Methode" bezahlt werden: Wie bei netzfreien Methoden müssen Penalty- oder Nitsche-Methoden angewendet werden, um diese Randbedingungen einzubauen.


Status des Projektes

Wir sind derzeit dabei, die Mixed-Cell-Complex Partition-of-Unity-Methode an zweidimensionalen Beispielen auszuprobieren.