Modellierung dicker Platten und Schalen

Modellierung dicker Platten und Schalen

Dicke Platte

Wann eine Platte oder Schale als "dick" zu betrachten ist, hängt von den Zielen der Berechnung ab: In randnahen Zonen von Flächentragwerken spielen dreidimensionale Spannungszustände eine ebensogroße Rolle wie in Lasteinleitungs- oder Stützenbereichen. Da solche lokalen Effekte auch auf die globale Ergebnisqualität einen erheblichen Einfluß haben können, ist die dreidimensionale Modellbildung manchmal zwingend erforderlich. In weiten Teilen der Struktur läßt sich jedoch auch in solchen Problemfällen das Verhalten gut durch ein dimensionsreduziertes Modell (klassische Platten- oder Schalentheorie) beschreiben.

Stellt man das dreidimensionale Verhalten einer Struktur durch eine polynomiale Entwicklung in Dickenrichtung dar, so kann man durch lokale Variation des Polynomgrades in Dickenrichtung einen "gleitenden" Übergang zwischen verschiedenen "Plattenmodellen" erreichen - vom reinen Reißner-Mindlin-Modell bis hin zur voll dreidimensionalen Beschreibung, mit beliebigen "2-1/2-dimensionalen" Zwischenmodellen.

Alternativ kann man die "Dickenrichtung" natürlich auch durch stückweise ("schichtweise") polynomiale Ansätze erfassen. Eine derartige Vorgehensweise ist insbesondere dann sinnvoll, wenn man sich für geschichtete Materialien (Verbundwerkstoffe) oder für nichtlineares Materialverhalten (z.B. elastoplastisches Verhalten, "Aufreißen" von bewehrtem Beton, Schädigung) interessiert.

Im Mittelpunkt des hier vorgestellten Vorhabens steht die automatische, lokale Modellanreicherung anhand von Fehlerindikatoren und die Anwendung auf Schalentragwerke. Erste Ansätze sind für Plattentragwerke bereits verfügbar.

3d-Spannungen

Unsere Abbildungen zeigen eine sehr dicke "Platte" unter Einwirkung einer Teilflächenlast auf der oberen Plattenfläche. Im Gegensatz zu einem zweidimenisonalen Plattenmodell kann unsere zweieinhalbdimensionale Beschreibung den dreidimensionalen Spannungszustand unter der Lastfläche beschreiben. Deutlich ist die "Mulde" sichtbar, die die auf der Plattenoberseite wirkende Last erzeugt. Im Diagramm sind die Spannungen in Dickenrichtung (in blau) und die Biegespannungen (in rot) längs eines Schnitts durch die Plattendicke unter der Lastfläche aufgetragen. Es wird deutlich, daß in dieser Zone die üblichen Annahme "ebenbleibende Querschnitte" nicht mehr uneingeschränkt zutrifft.