Heft 53

Schriftenreihe des Studiengangs Geodäsie und Geoinformation
der Universität der Bundeswehr München

 


 

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Heft 53

Robuste Verfahren zur Analyse linearer stochastischer Prozesse im Zeitbereich
Dissertation

Autor: G. Chen

Universität der Bundeswehr München, Neubiberg, 1996
III, 128 Seiten

Vollständiger Abdruck der von der Fakultät für Bauingenieur- und Vermessungswesen der Universität der Bundeswehr München zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktor-Ingenieurs (Dr.-Ing.) genehmigten Dissertation.

Vorsitzender: Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Welsch
1. Berichterstatter: Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Caspary
2. Berichterstatter: Univ.-Prof. Dr. rer. nat. K. Wichmann

Die Dissertation wurde am 20.11.1996 bei der Universität der Bundeswehr München,
D-8014 Neubiberg, Werner-Heisenberg-Weg 39, eingereicht.

Tag der mündlichen Prüfung: 19.03.1997

 


 

Inhalt

Einführung

Grundlagen

  • Das klassische Zeitreihenmodell
    • Stochastische Prozesse
    • Modellierung linearer stationärer stochastischer Prozesse
    • Parameterschätzung
      • AR(p)-Modell
      • MA(q)- und ARMA(p, q)-Modell
    • Modellidentifikation
      • Der Box/Jenkins-Ansatz zur Modellidentifikation
      • Informationskriterien
  • Kollokation und Kriging
    • Modellannahmen und Aufgabenstellung
    • Kollokation
      • Bestimmung der unbekannten Größen
      • Bestimmung der Varianz-Kovarianzmatrix des Signals
    • Kriging
      • Variogramm
      • Normales Kriging
      • Universelles Kriging
  • Zustandsraumformulierung linearer dynamischer Systeme und Kalman-Filter
    • Zustandsraumformulierung linearer dynamischer Systeme
    • Filterung, Prädiktion und Glättung
    • Kalman-Filter
  • Robuste Schätzer
    • Zielsetzung robuster Schätzer
    • Robuste Schätzer für Lageparameter
    • Robuste Schätzer für Skalenparameter

Robuste Analyse klassischer Zeitreihen

  • Klassifikation grober Fehler in Zeitreihen
  • Der Einfluß eines AA auf die Autokovarianz- und Autokorrelationsschätzung
  • Grober Fehler und die Bedingung der Stationarität und Invertierbarkeit beim (AR(l)- und MA(l)-Modell
  • Robuste Schätzung der Modellparameter
    • Robustifizierung der Yule-Walker-Gleichung
    • Robustifizierung des bedingten Kleinste-Quadrate-Ansatzes
  • Robuste Verfahren zur Modellidentifikation
  • Simulationsergebnisse

Das erweiterte ARMA-Modell

  • Modellbildung
  • Parameterschätzung
  • Varianzkomponentenschätzung
  • Wahl der Modellordnung

Zustandsraumformulierung des erweiterten ARMA-Modells

  • Darstellung des EARMA-Modells im Zustandsraum
  • Stabilität, Beobachtbarkeit und Störbarkeit
    • Stabilität
    • Beobachtbarkeit
    • Störbarkeit
  • Auswertung des EARMA-Modells mit Kalman-Filter
  • Robustifizierung des Kalman-Filters
  • Numerische Beispiele

Analyse von Zeitreihen mit Kollokation und Kriging

  • Einleitung
  • Analyse einer Zeitreihe mit Kollokation
    • Die Kovarianz der mit Meßfehlern behafteten Zeitreihe
    • Auswertung einer Zeitreihe mit Hilfe der Kollokation
  • Analyse der Zeitreihe mit dem Krigingverfahren
    • Das Variogramm der Zeitreihe
    • Auswertung von Zeitreihen mit Kriging
  • Vergleich von Kollokation und Kriging
  • Robustes Krigingverfahren
    • Robuste Schätzung des Variogramms
    • Robustes Kriging

Analyse realer Zeitreihen

  • Beschreibung der Datensätze
  • Behandlung des Trends und der Schwingungen
  • Kriging des stochastischen Anteils
  • Darstellung des stochastischen Anteils mit dem EARMA-Modell

Zusammenfassung und Ausblick

Literaturverzeichnis

Lebenslauf

Dank

 


 

Zusammenfassung

In der vorliegenden Arbeit werden zunächst die notwendigen Grundlagen aufbereitet. Hierzu zählen die Beschreibung stochastischer Prozesse, eine kurze Zusammenfassung über Kollokation und Kriging, sowie ein Abriß über das Kalman-Filter und die robuste Schätzung.

Der Einfluß eines additiven Ausreißers AA auf die Schätzwerte für Autokorrelationskoeffizienten wird analytisch untersucht. Die Ergebnisse zeigen, daß beim Vorhandensein eines AA die Autokorrelationskoeffizienten dem Betrag nach kleiner als der Sollwert geschätzt werden. Daraus resultiert die Aussage, daß ein aus mit groben Fehlern behafteten Meßdaten geschätzter Parameter eines AR(l)- oder MA(l)-Modells im Stationaritäts- oder Invertierbarkeitsbereich liegt, wenn auch der zugrunde liegende Prozeß stationär oder invertierbar ist. Es werden vier robuste Schätzer vorgestellt, mit denen der Einfluß von AA auf die geschätzten Autokorrelationskoeffizienten unterdrückt werden kann. Ausgehend von Huber (Huber's Proposal 2) wird der Wert der kritischen Konstante b für die simultane Schätzung von Lage- und Skalenparameter empirisch untersucht. Das Ergebnis dieser Untersuchung ist bedeutungsvoll und kann zur robusten Schätzung von Lage- und Skalenparametern des Zeitreihenmodells eingesetzt werden. Mit Hilfe der M-Schätzer werden einige robuste Varianten zur Parameterschätzung und Modellidentifikation des klassischen Zeitreihenmodells erörtert und mit zahlreichen Simulationsbeispielen erprobt. In allen Fällen der Parameterschätzung und der Modellidentifikation sind die robusten Verfahren der klassischen Vorgehensweise klar überlegen.

Unter Berücksichtigung der Meßfehler wird das klassische ARMA-Modell zu einem EARMA-Modell erweitert. Mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate wird ein Schätzverfahren für die Parameter des EARMA-Modells hergeleitet. Für die in der Regel nicht bekannten Varianzen des System- und des Meßrauschens wird eine Varianzkomponentenschätzung vorgestellt. Die Problematik der Modellidentifikation wird ebenfalls behandelt. Simulationsrechnungen bestätigen, daß dieses EARMA-Modell die Einflüsse des Systemrauschens und des Meßrauschens voneinander trennen und die Modellparameter plausibel schätzen kann, sofern die Modellordnung vernünftig gewählt wurde.

Das EARMA-Modell kann ohne weitere Modifikation im Zustandsraum formuliert werden. Die Stabilität, die Beobachtbarkeit sowie die Störbarkeit des EARMA-Modells werden ausführlich diskutiert. Mit Hilfe des Kalman-Filters wird das EARMA-Modell im Zustandsraum ausgewertet. Einzelne Lücken in den Meßdaten können so gefüllt und zweifelhafte Beobachtungen durch interpolierte Werte ersetzt werden, sofern die Parameter und die Varianzkomponenten des EARMA-Modells vorhanden sind.

Kollokation und Kriging können wie das EARMA-Modell zur Interpolation von Beobachtungen herangezogen werden. Ursprünglich dienen diese beiden Verfahren der Verarbeitung räumlicher Daten. Sie können aber ebensogut auf die Behandlung der Zeitreihe angewandt werden, wenn man die Zeitachse als eine eindimensionale Raumachse ansieht. Die Identität der beiden Verfahren unter gewissen Bedingungen wird theoretisch bewiesen. Die Kovarianzfunktion und das Variogramm - die Bausteine für Kollokation und Kriging - sind bei schwach stationären Prozessenb äquivalente Maße für die stochastische Struktur der Prozesse. Die beiden Verfahren unterscheiden sich vor allem in ihrer rechentechnischen Realisierung. Wegen des kleineren Rechenwaufwandes, der stabileren Ergebnisse, des breiteren Anwendungsbereiches und nicht zuletzt, weil das Variogramm von einem nicht vollständig entfernten Trend weniger beeinflußt wird als die Schätzwerte für die Kovarianz, ist das Krigingverfahren als Favorit zu empfehlen. Es wurde erfolgreich versucht, das Krigingverfahren zu robustifizieren. Einige Ergebnisse dazu werden unterbreitet.

Die praktische Anwendbarkeit der robusten Schätzer für das EARMA-Modell sowie das Krigingverfahren wird mit realen Zeitreihen aus dem geodätischen Bereich untersucht. Die Zeitreihen sind sowohl mit einem deterministischen Anteil als auch mit groben Fehlern behaftet. Darüberhinaus enthalten sie Lücken. Der deterministische Anteil wird mit einem Polynom zweiten Grades und periodischen Schwingungen approximiert. Um die Frequenz der Schwingungen zu bestimmen, wird das Periodogramm zu Hilfe genommen. Die Parameter des Polynoms und der Schwingungen werden robust geschätzt. Mit dem Krigingverfahren werden die Lücken in den Zeitreihen gefüllt und die zweifelhaften Meßwerte korrigiert. Es zeigt sich, daß das Krigingverfahren ein für diesen Zweck geeignetes Werkzeug ist. Die Wirkung des robusten Krigings wird nachgewiesen. Danach werden die Zeitreihen mit dem EARMA-Modell modelliert. Die Ergebnisse zeigen, daß das EARMA-Modell zur Modellierung geodätischer Zeitreihen geeignet ist. Mit diesem Modell kann man die stochastische Feinstruktur der Zeitreihen untersuchen und die Varianz des Meßrauschens schätzen.

Für die Analyse geodätischer Zeitreihen wird folgende allgemeine Vorgehensweise empfohlen:

  1. Darstellung der Zeitreihen
    Eine plausible Entscheidung über die Ansätze zur Modellierung der Zeitreihen ist nur mit graphischen Hilfsmitteln und unter Berücksichtigung der a priori bekannten Eigenschaften der gemessenen Objekte sowie der Meßgeräte und des Meßverfahrens möglich. Eine "blinde" Analyse ist auf jeden Fall zu vermeiden.
  2. Abspaltung des deterministischen Anteils
    Der Trend kann durch lineare Funktionen (Polynome beliebigen Grades) oder nichtlineare Funktionen (exponentielle oder logistische Funktionen) modelliert werden - je nachdem, was in den Graphiken der Meßdaten offensichtlich wird. Um die eventuell überlagerten Schwingungen aufzudecken, ist es sinnvoll, nach Abspaltung des Trendes eine Spektralanalyse durchzuführen und anschließend die Schwingungsparameter zu schätzen. Die verbleibenden Residuen bilden trendfreie Zeitreihen.
  3. Kriging der Residuen
    In diesem Schritt werden die Lücken in den Zeitreihen gefüllt und zweifelhafte Meßdaten durch Ersatzwerte substituiert.
  4. Modellierung des stochastischen Anteils mit einem EARMA-Modell
    Dieser Schritt bietet die Möglichkeit, die Feinstruktur des stochastischen Anteils zu untersuchen und eine plausible Angabe über die Qualität der Meßdaten zu liefern.

Da grobe Fehler in Beobachtungsvektoren nahezu immer präsent sind, müssen in Schritt (2) und (3) robuste Verfahren eingesetzt werden. Nur so können der Einfluß grober Fehler unterdrückt und verläßliche Daten für Schritt (4) geliefert werden.

In dieser Arbeit werden das EARMA-Modell und das Krigingverfahren gemeinsam zur Analyse eindimensionaler Zeitreihen eingesetzt; es ist jedoch erstrebenswert, diese Verfahren auch auf die Analyse zweidimensionaler Zeitreihen sowie räumlicher Daten zu übertragen. Die Fortführung dieser Arbeit bestünde wesentlich darin, das EARMA-Modell zu erweitern und es zusammen mit dem Krigingverfahren auf die Analyse räumlicher Daten anzuwenden. Die Auswertung des EARMA-Modells muß immer in Verbindung mit der Varianzkomponentenschätzung durchgeführt werden. Der große Rechenaufwand legt es nahe, vereinfachte Verfahren zur Varianzkomponentenschätzung zu entwickeln, damit auch die Auswertung von Zeitreihen mit hoher Beobachtungsanzahl durchgeführt werden kann. Dabei ist der Einsatz robuster Verfahren zur Auswertung des EARMA-Modells unverzichtbar.

 


 

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