Heft 52

Schriftenreihe des Studiengangs Geodäsie und Geoinformation
der Universität der Bundeswehr München

 


 

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Heft 52

Filtermethoden zur fehlertoleranten kinematischen Positionsbestimmung
Dissertation

Autor: G. W. Jian

Universität der Bundeswehr München, Neubiberg, 1997
XV, 138 Seiten

Vollständiger Abdruck der von der Fakultät für Bauingenieur- und Vermessungswesen der Universität der Bundeswehr München zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktor-Ingenieurs (Dr.-Ing.) genehmigten Dissertation.

Vorsitzender: Univ.-Prof. Dr.-Ing. G. Hein
1. Berichterstatter: Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Caspary
2. Berichterstatter: Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Benning

Die Dissertation wurde am 23.10.1996 bei der Universität der Bundeswehr München,
D-8014 Neubiberg, Werner-Heisenberg-Weg 39, eingereicht.

Tag der mündlichen Prüfung: 03.02.1997

 


 

Inhalt

Einleitung

  • Einführung
  • Zielsetzung und Strukturierung der Arbeit

Linear optimale Filterung

  • Der Kalman-Filter in diskreter Zeit
    • Funktionales Modell
    • Stochastisches Modell
    • Das Prinzip der minimalen Varianz
    • Rekursive Schätzung mit minimaler Varianz
  • Der Kalman-Filter aus der Sicht der Ausgleichungsrechnung
    • Darstellung des Modells
    • Lösung des Gleichungssystemes
  • Erweiterter Kalman-Filter
  • Der Rückwärts-Kalman-Filter
  • Glättung
    • Einführung
    • Der Fraser-Mayne-Algorithmus
    • Der Rausch-Tung-Striebel-Algorithmus
  • Qualitätsmaße im Kalman-Filter
    • Die Schätzung der Gewichtseinheitsvarianz
      • Lokale Gewichtseinheitsvarianz
      • Regionale Gewichtseinheitsvarianz
      • Globale Gewichtseinheitsvarianz
    • Redundanzanteile
    • A-posteriori-Varianzschätzung
    • Die Korrelation zwischen zwei Nachbarepochen

Beschreibung der Bewegung eines materiellen Punktes

  • Der Ortsvektor im kartesischen Koordinatensystem
  • Bewegte Bezugssysteme
  • Geschwindigkeit, Beschleunigung und Ruck
  • Geradlinige Bewegung
  • Kreisbewegung

Positionsbestimmung für die kinematische Vermessung von Landverkehrswegen
mit dem erweiterten Kalman-Filter

  • Positionierung und Navigation
  • Beobachtungen
  • Meßplanung
  • Praktische Modelle und deren Modellfehler
    • Die Drehmatrix
    • Modell I: Geradlinig unbeschleunigte Bewegung
    • Modell II: Gleichförmige Kreisbewegung
    • Modell III: der Kompromiß zwischen den Modellen I und II
  • Berechnung der Krümmung von Landverkehrswegen
    • Theoretische Grundlagen
    • Modell I
    • Modell II
    • Modell III
  • Simulationsbeispiele
  • Bewertung der Modelle
    • Überblick über die Modelle
    • Genauigkeitsanalyse
    • Zuverlässigkeitsanalyse
    • Analyse der prädizierten Residuen und der Verbesserungen der Beobachtungen
    • Krümmungsbild
    • Zusammenfassende Bewertung
  • Numerische Beispiele zur Glättung
    • Vergleich der Glättungsalgorithmen
    • Der Effekt der Glättung
  • Numerische Beispiele zur a-posteriori-Varianzschätzung
    • Globale Gewichtseinheitsvarianz
    • Varianzkomponenten

Statistische Tests und Identifikation grober Beobachtungsfehler

  • Einführung
  • Statistische Eigenschaften der Filterungsergebnisse
  • Tests mit Hilfe der Prädiktionsresiduen der Beobachtung
    • Globale Tests
    • Regionale Tests
    • Lokale Tests
  • Tests mit Hilfe der Beobachtungsverbesserungen
    • Globale Tests
    • Regionale Tests
    • Lokale Tests
  • Erkennbarkeit grober Beobachtungsfehler
  • Behandlung grober Beobachtungsfehler: Methode I
  • Behandlung grober Beobachtungsfehler: Methode II
  • Behandlung grober Beobachtungsfehler mit Hilfe von Zusatzparametern und linearen Hypothesentests
  • Beispiele zur Identifikation grober Beobachtungsfehler

Identifikation systematischer Sensorfehler

  • Erkennbarkeit konstanter systematischer Sensorfehler
    • Grenzwert mit Hilfe der Normalverteilung
    • Grenzwert mit Hilfe der c2-Verteilung
    • Numerische Beispiele
  • Kompensation konstanter systematischer Sensorfehler
    • Erweiterung des Modells
    • Numerische Beispiele
  • Kompensation sprunghafter systematischer Sensorfehler
    • Verwendung des Vor- und Rückwärts-Kalman-Filters
    • Numerische Beispiele
  • Kompensation zeitabhängiger systematischer Sensorfehler
    • Erweiterung des Modells
    • Numerische Beispiele

Robuster Kalman-Filter

  • Einführung
  • Robuste Bayessche Schätzung
    • Grundlegende Darstellung
    • Dickschwänzige Verteilungen
      • Grundlegende Darstellung
      • Sequentieller Algorithmus
      • Der Vergrößerungsfaktor l und die Kontaminierungswahrscheinlichkeit a
    • Gewichtsfunktionen
      • Algorithmus I
      • Algorithmus II
  • Robuste Maximum-Likelihood-Schätzung
    • Grundlegende Darstellung
    • Verlustfunktionen
  • Robustifizierung mit Hilfe der a-posteriori-Varianzschätzung
  • Numerische Beispiele

Allgemeiner Auswerteprozeß für die kinematische Vermessung von Landverkehrswegen

Zusammenfassung

Literaturverzeichnis

Lebenslauf

Dank

 


 

Zusammenfassung

Der Entwicklungsstand modernen Positionierungstechniken mit GPS, INS und weiteren Verfahren ermöglicht es heute, eine fahrzeuggebundene kinematische Vermessung von Landverkehrswegen mit hoher Genauigkeit durchzuführen. Dazu ist aber die Entwicklung geeigneter Auswertemethoden erforderlich.

Vor diesem Hintergrund befaßt sich die vorliegende Arbeit mit Filtermethoden zur fehlertoleranten kinematischen Vermessung.

Hinsichtlich der Theorie wurde in einem ersten Schritt die Zuverlässigkeitsanalyse als notwendiger Bestandteil der Qualitätskontrolle für den Kalman-Filter eingeführt. Dann wurde das von Förstner (1979) vorgeschlagene Verfahren zur a-posteriori-Varianzschätzung auf die Beobachtungsarten und auch auf die Einzelfaktoren im Prozeßrauschen angewendet. Zur Kompensation grober Beobachtungsfehler konnte ein Verfahren mit Hilfe von Zusatzparametern entwickelt werden. Zur Robustifizierung wurde das von Li (1983) entwickelte Verfahren realisiert.

Hinsichtlich der Anwendung auf kinematische Vermessungen wurden die drei in dieser Arbeit dargestellten Modelle einer Modellbewertung im Rahmen einer Qualitätskontrolle unterzogen. Die Qualitätskontrolle erfordert die Analyse verschiedener Parameter wie Genauigkeit, Zuverlässigkeit, Prädiktionsresiduen, Verbesserungen und Krümmungsbild. Dabei wurde der Unterschied zwischen den FM-Glättungsalgorithmen und dem RTS-Glättungsalgorithmus anhand der Zielfunktionen und von numerischen Beispielen beleuchtet. Weiterhin wurden statistische Tests, Verfahren zur Identifikation und Kompensation grober Beobachtungsfehler, zur Identifikation und Kompensation systematischer Sensorfehler sowie zur robusten Kalman-Filterung systematisch untersucht. Ausführlich wurde auf die Ermittlung der Anfangswerte von Zusatzparametern bei der Modellierung systematischer Sensorfehler eingegangen. Alle in dieser Arbeit beschriebenen Verfahren wurden in Rechnerprogrammen realisiert und anhand von Simulationsdaten numerisch untersucht und jeweils in einzelnen Themenbereichen verglichen. Auszüge aus den numerischen Ergebnissen wurden bei Bedarf im Text erläutert.

Zwei Eigenarten dieser Arbeit sind hervorzuheben:

  • Eine Grundüberlegung in dieser Arbeit besteht darin, daß die zufälligen Fehler im System immer aus drei unabhängigen Teilen bestehen, die den folgenden Informationsträgern anhaften. Die direkten Beobachtungen stellen die neue Meßinformation aus den Sensoren dar. Die erste Pseudobeobachtungsgruppe, der präzidierte Zustandsvektor, enthält die Information aus den vorher geschätzten Zuständen. Die zweite Pseudobeobachtungsgruppe, das Prozeßrauschen, umfaßt die Information über die angesetzten Modellfehler. Gewöhnlich wurden die letzten zwei Gruppen in einer zusammengefaßt. Diese drei Informationsgruppen und die zugehörenden Fehlerarten können und sollten stets isoliert analysiert werden. Dieser Ansatz ist nicht nur bei der Ableitung des Kalman-Filters aus der Sicht der Ausgleichungsrechnung, sondern auch bei der a-posteriori-Varianzschätzung und bei der robusten Kalman-Filterung verfolgt worden.
  • Viele Analysen und Untersuchungen der Verfahren wurden anhand von Simulationsdaten durchgeführt. Die daraus getroffenen Aussagen können sicherlich nur als exemplarisch angesehen werden. Die numerische Analyse ist jedoch notwendige Voraussetzung für die Bewertung verschiedener Verfahren in wissenschaftlichen Arbeiten, so auch in dieser Arbeit.

Im einzelnen liefert die Arbeit folgende Ergebnisse:

  • Die Beurteilung der Filterungsergebnisse bei der kinematischen Vermessung von Landverkehrswegen soll hinsichtlich Genauigkeit und Zuverlässigkeit sowie anhand der Prädiktionsresiduen und Verbesserungen der Beobachtungen sowie des Krümmungsbildes erfolgen. In anderen Anwendungsgebieten wird oft nur die Analyse der Genauigkeit und der Präditionsresiduen durchgeführt. Aus Sichtweise der Vermessung sollen auch Zuverlässigkeit und Beobachtungsverbesserungen gleichwertig untersucht werden. Bei der kinematischen Vermessung von Landverkehrswegen ist zudem die Analyse des Krümmungsbildes der geschätzten Trajektorie für die Qualitätskontrolle wichtig.
  • Zur Positionsbestimmung bei der kinematischen Vermessung wird das Modell II vorgeschlagen. Dieses wurde unter der Annahme einer gleichförmigen Kreisbewegung abgeleitet. Das Modell besteht aus 5 Komponenten im Zustandsvektor (Koordinaten y, x, Azimut j, Geschwindigkeit vt und Zentripetalbeschleunigung jr). Anhand von Simulationsdaten konnten mit diesem Modell auch kurvige Fahrten sehr gut beschrieben werden. Für Landverkehrswege mit kleinen Krümmungsänderungen ist auch das einfachere Modell III anwendbar.
  • Basierend auf den Redundanzanteilen der Beobachtungen wurde die Analyse der Zuverlässigkeit im Kalman-Filter allgemeingültig durchgeführt. Durch die Analyse der Verteilung der Redundanzanteile auf die Einzelbeobachtungsarten kann man die Abstimmung der Beobachtungsgenauigkeiten untersuchen. Dies trägt zur Kenntnis der Systemstruktur bei.
  • Der FM-Glättungsalgorithmus 1 (ebenso 2 und 3) ist dem RTS-Algorithmus und dem FM-Algorithmus 4 bei der Nachverarbeitung vorzuziehen. Dieser Algorithmus wurde theoretisch streng in diskreter Zeit abgeleitet. Mit ihm kann die Genauigkeit des Zustandsvektors bei Unterbrechung des Empfangs der GPS-Signale wegen Abschattungen der Satelliten durch die Glättung wirkungsvoll erhöht werden.
  • Ein neuer Weg zur a-posteriori-Varianzschätzung im Kalman-Filter wird durch die Realisierung des von Förstner (1979) entwickelten Verfahrens eröffnet. Dieses Verfahren mit Hilfe der Redundanzanteile der Einzelbeobachtungen wurde als rekursiver Algorithmus formuliert. Nicht nur die Varianzkomponenten der Einzelbeobachtungsarten, sondern auch diejenigen der Modellfehlerfaktoren können damit für eine beliebige Epoche auf der Basis aller vorhergehenden Meßdaten nachgeschätzt werden. Der Algorithmus kann sowohl bei der Datennachbearbeitung als auch in Echtzeit eingesetzt werden.
  • Die statistischen Tests im Kalman-Filter wurden global, regional und lokal angesetzt- Dieses Vorgehen ist für die Analyse einer zeitlichen Datenreihe gut geeignet. Die numerischen Ergebnisse zeigen, daß die globalen bzw. regionalen Tests zur Idenfikation kleiner systematischer Sensorfehler nicht sensitiv genug sind, wenn nicht genügend Meßepochen vorliegen. Ferner sind in diesem Anwendungsbereich der t- und F-Test dem Test nach Normalverteilung und dem c2-Test vorzuziehen.
  • Das in 5.8 entwickelte Verfahren, Behandlung grober Beobachtungsfehler mit Hilfe von Zusatzparametern und linearen Hypothesentests, ist zur effektiven Kompensation grober Beobachtungsfehler geeignet. Gestützt auf die statistischen Tests kompensiert das Verfahren grobe Fehler in einem Iterationsprozeß mit Hilfe der Prädiktionsresiduen oder Verbesserungen der Beobachtungen sowie der vorgegebenen großen Varianzen als a-priori-Information über die Zusatzparameter. Im Gegensatz zu zwei anderen, einfachen Methoden aus 5.6 und 5.7 ist dieses Verfahren sehr gut für die Nachbearbeitung geeignet.
  • Die Aufdeckung konstanter systematischer Sensorfehler kann im Kalman-Filter auf zwei Weisen erfolgen: durch Tests auf der Basis der Normalverteilung und der c2-Verteilung. Die berechneten Grenzwerte nach diesen zwei Verteilungen stimmen gut überein.
  • Die Kombination von Vorwärts- und Rückwärts-Kalman-Filter ist eine effektive Technik zur Identifikation sprunghafter systematischer Sensorfehler. Diese Taktik ist zur Sensorkalibrierung vor dem Meßvorgang und für die Datennachbearbeitung anwendbar.
  • Für die Genauigkeit der Anfangswerte von Zusatzparametern bei der Identifikation systematischer Sensorfehler gibt es keine hohen Anforderungen. Eine allgemeingültige Regel ist es, die Anfangswerte als Pseudobeobachtungen mit Erwartungswert Null und großer Varianz anzusetzen, da ihre Schätzwerte nicht abhängig von den vorgegebenen Anfangswerten sind. Wie groß die Varianz ist, sollte man empirisch schätzen und mit realen oder simulierten Daten ausführlich untersuchen. In der Regel sollte sie größer als die freifache Standardabweichung der entsprechenden Beobachtung sein.
  • Zur Robustifizierung des Kalman-Filters hat der Autor ein von Li (1983) für Regressionsmodelle entwickeltes Verfahren, Robustifizierung mit Hilfe der a-posteriori-Varianzschätzung, auf den Kalman-Filter angewendet (Kap. 7.4). Das Verfahren ist in der Nachbearbeitung sehr wirkungsvoll.
  • Alle in dieser Arbeit beschriebenen robusten Verfahren wurden anhand von numerischen Beispielen verglichen. Die erste Art von robusten Kalman-Filtern, robuste Bayessche Schätzung, gehört zu den Einschrittschätzern und ist daher für Echtzeitanwendungen geeignet. Für die Datennachbearbeitung wurden zwei andere Arten von robusten Verfahren, robuste Maximum-Likelihood-Schätzung und Robustifizierung mit Hilfe der a-posteriori-Varianzschätzung, eingeführt, bei denen die Behandlung iterativ vonstatten geht. Dabei liefern das Modell mit dickschwänzigen Verteilungen der Beobachtungen (Kap. 7.2.2) und das Verfahren Robustifizierung mit Hilfe der a-posteriori Varianzschätzung (Kap. 7.4) die besten Ergebnisse.
  • Der vorgeschlagene Auswerteprozeß in Kapitel 8 stellt eine Strategie zur fehlertoleranten kinematischen Positionsbestimmung dar. Wie oben erwähnt spielen die Kenntnis über die verschiedenen vorhandenen mathematischen Methoden und die praktischen Erfahrungen eine wichtige Rolle bei der Auswertung.

 


 

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