Heft 44

Schriftenreihe des Studiengangs Geodäsie und Geoinformation
der Universität der Bundeswehr München

 


 

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Heft 44

Zur kombinierten Ausgleichung heterogener Beobachtungen in hybriden Netzen
Dissertation

Autor: W. Oswald

Universität der Bundeswehr München, Neubiberg, 1992
128 Seiten

Vollständiger Abdruck der von der Fakultät für Bauingenieur- und Vermessungswesen der Universität der Bundeswehr München zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktor-Ingenieurs (Dr.-Ing.) genehmigten Dissertation.

Vorsitzender: Univ.-Prof. Dr. rer. nat. K. Wichmann
1. Berichterstatter: Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Welsch
2. Berichterstatter: Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Caspary

Die Dissertation wurde am 14.10.1991 bei der Universität der Bundeswehr München,
D-8014 Neubiberg, Werner-Heisenberg-Weg 39, eingereicht und durch die Fakultät für Bauingenieur- und Vermessungswesen am 20.02.1992 angenommen.

 


 

Inhalt

Einleitung

Problemformulierung und Methodik

  • Zielsetzung
  • Projektoren als mathematisches Hilfsmittel

Geodätisches Datum und S-Transformation

  • Gauß-Markoff-Modell (GMM) mit Datumsrestriktionen
    • Modellbildung und Parameterelimination
    • Regularisierung durch Inzunahme von Datumsrestriktionen
  • Datumsübergang durch Projektion
    (S-Transformation)
  • Datumsinformation aus Beobachtungen
  • Innere Fehlermatrix eines Punkthaufens -
    Abspaltung globaler Fehleranteile und defekterhöhende S-Transformation
  • Gauß-Markoff-Modell mit Zusatzparametern
  • Äquivalenznachweis

Schätzung von Varianz- und Kovarianzkomponenten

  • Einführung
  • Gebrauchsformeln
    • Systematisierung von lokalen BIQUE
    • Iterierte Schätzungen
      (Gleichmäßige BIQUE)
  • Varianzkomponenten-Schätzung (VKS) bei vorausgeglichenen Teilnetzen
    • Sequentielle Ausgleichungstechniken
      (Dualitätsprinzip)
    • Verknüpfung von teilartigen Teilnetzen
    • Verknüpfung von ungleichartigen Teilnetzen
      (Varianzkomponenten-Schätzung)
    • Vereinfachte Schätzfunktionen zur netz- und gruppenweisen Varianzkomponenten-Schätzung

Das hybride Datum bei der Verknüpfung von Teilnetzen

  • Verknüpfungsmodelle für differentiell benachbarte Teilnetze
    • Von der Anfelderung zur Netzverschmelzung
    • Die Bestimmbarkeit von Elementen des relativen Datumsvektors -
      Fallunterscheidung und Defektanalyse
    • Netzverschmelzung ohne Zusatzparameter -
      Modelle für den Netzausgleich
  • Zusammenführung von Teilnetzen aus unterschiedlich gelagerten Bezugssystemen
    • Der Übergang vom geozentrischen zum topozentrischen System
    • Die Vereinigung der Beobachtungsgleichungen der Teilnetze
      (Primäres Problem)
    • Die Vereinigung vorausgeglichener Teilnetze
      (Duales Problem)
    • Varianten zur Datums- und S-Transformation im Vorfeld der Folgeausgleichung
    • Lokale Koordinaten und ellipsoidische Bezugssysteme für die Netzkombination

Zusammenfassung

Literatur

Anhang 1: Notationen

Anhang 2: Einige Rechenregeln für Projektoren

Anhang 3: Verzeichnis der Abbildungen und Tabellen

Anhang 4: Stichwortverzeichnis (Index)

 


 

Zusammenfassung

Die Kombination herkömmlicher terrestrischer Beobachtungen mit modernen Raummeßtechniken wie dem GPS in geodätischen Netzen lokaler Ausdehnung ist Gegenstand ingenieurgeodätischer Praxis und wissenschaftlicher Forschung gleichermaßen. Während sich die Praxis häufig mit der Bestimmung plausibler Punktkoordinaten begnügt und Genauigkeitsrückschlüsse allenfalls aus den Klaffungen in identischen Punkten zieht, gilt das Hauptaugenmerk wissenschaftlicher Arbeiten der Erfassung und Elimination systematisch wirkender Fehleranteile durch verfeinerte Auswerte- und Analysetechniken. Eine gemessen an der zur Verfügung stehenden Information strenge kombinierte Ausgleichung ist bislang jedoch nicht oder nur ansatzweise erfolgt. Hierzu bedarf es neben einem funktionalen Modell zur räumlichen Zuordnung eines stochastischen Modells, das geeignet ist, die optimale Relation der Beobachtungsgewichte des heterogenen Beobachtungsmaterials zu finden. Allerdings müssen bestehende Varianzkomponenten-Modelle erweitert werden, um auch vorausgeglichene Größen wie Koordinaten oder Koordinatendifferenzen (GPS: aus dem Postprocessing der Phasenmessungen) gerecht zu werden.

Eine Integration vorab geschätzter Größen führt in die Thematik sequentieller Ausgleichungstechniken. Allgemein wird dabei Beobachtungsinformation auf vorläufige Parameter einschließlich Dispersion übertragen (Vorausgleichung) und in dieser Form bereitgestellt für die Schätzung endgültiger Parameter unter Einschluß weiterer Informationen (Folgeausgleichung). Grundsätzlich ist es ohne Belang, in welcher Form die Beobachtungsinformation bereitsteht. Koordinatendifferenzen oder Koordinaten einer GPS-Multistations/Multisessions-Lösung sind Träger derselben relativen Lageinformation. Gleichwohl sind Koordinaten als Informationsträger anschaulicher und universeller. Die Bestimmung "bester" Koordinaten ist wesentliches Anliegen einer jeden zwangsfreien Netzausgleichung. Es sollte möglich sein, diesem Ideal auch dann nachzukommen, wenn es gilt, Netze aus getrennter Vorverarbeitung von Satellitensignalen oder terrestrischen Beobachtungen nachträglich zu verknüpfen. Die Forderung nach Homogenisierung der Gewichte bleibt bei sequentieller Vorgehensweise bestehen und überträgt sich auf die Gewichte der abgeleiteten Beobachtungen. Die vorliegende Arbeit stellt das Modell einer netzweisen Varianzkomponenten-Schätzung vor. Hiernach lassen sich Varianzkomponenten originärer Beobachtungsgruppen bei sequentieller Netzausgleichung rekonstruieren und Gewichte abgeleiteter Beobachtungen im nachhinein homogenisieren. Koordinatenschätzungen und ihre Genauigkeitsmaße stimmen mit denen einer vergleichbaren Gesamtnetzausgleichung überein.

Die Formulierung eines allgemeingültigen Konzepts zur kombinierten Ausgleichung heterogener Beobachtungen in hynriden Netzen verlangt nach Berücksichtigung weiterer Aspekte. Abgeleitete Größen wie Koordinaten und Koordinatendifferenzen beinhalten neben relativer Lage- auch absolute Datumsinformationen. Gleiches gilt in beschränktem Umfang für die originären Messungselemente Strecke, Zenitdistanz und Azimut. Verfügungen über Netzlagerung und -freiheitsgrad haben zur Folge, daß beobachtungsrelevenate innere Fehler mit äußeren Effekten überlagert werden, die sich störend auf eine Netzkombination und eine Genauigkeitsanalyse auswirken können. In jedem Fall muß sichergestellt werden, daß die Datumsfestlegung im gesamten Netz einheitlich erfolgt. Als Hilfsmittel bietet sich das bekannte Instrument der variablen Zusatzparameterwahl an. Handelt es sich bei den Beobachtungen um vorausgeglichene Koordinaten, so kann der Problematik eines hybriden Datums ebenfalls durch Elimination äußerer Fehleranteile im stochastischen Modellpart begegnet werden. Dies geschieht mit Hilfe von defekterhöhenden S-Transformationen.

Da andererseits Datumsverfügungen alleine aus Beobachtungen in der Regel nicht ausreichen, um Lagerung, Orientierung und Maßstab eines Netzes vollständig zu beschreiben, ist die Normalgleichungsmatrix und mit ihr jede als Kofaktormatrix der Netzkoordinaten in Frage kommende (reflexive) g-Inverse singulär. Unverzerrte Schätzungen des Erwartungswertevektors abgeleiteter Koordinatenbeobachtungen in einer sich anschließenden Folgeausgleichung erfordern die Berücksichtigung der zwischen den Beobachtungen bestehenden linearen Abhängigkeiten. Datumsrestriktionen aus einer Vorausgleichung wird man durch entsprechende Projektion der Beobachtungsgleichungen gerecht. Davon unabhängig ergeben sich erwartungstreue Schätzungen für (projizierte) Koordinatenparameter einschließlich Dispersion aus einem Ersatzmodell, welches die Bereitstellung (reduzierter) Normalgleichungsmatrizen aus den Vorausgleichungen erfordert. Wo nicht unmittelbar zugänglich (GPS-Standradsoftware), können sie aus zugehörigen Kofaktoren rückwirkend abgeleitet werden.

Funktional besteht das Problem der Verknüpfung unterschiedlicher Bezugssysteme, deren gegenseitige Beziehung oft nicht ausreichend bekannt ist. Transformationen sind notwendig, um die (vorausgeglichenen) Teilnetze unter einem einheitlichen Bezugssysteme zusammenführen zu können. Die Güte einer Transformation zwischen physikalisch definierten Bezugssystemen, wie dem vereinbarten terrestrischen System und einem geodätischen Bezugssystem, wird bestimmt aus der Qualität ihrer Realisierungen. Oftmals liegen keine Informationen über die zwischen den Systemen vermittelnden Transformationsparameter vor. Dies ist beispielsweise dann der Fall, wenn auf terrestrischer Seite bei der Einrichtung eines lokalen Systems auf die Anbindung an ein Datumsellipsoid verzichtet wurde. Abhilfe schafft hier eine Helmert-Transformation (Anfelderung) zwischen den kartesischen Koordinaten von Vergleichspunkten. Ohne Berücksichtigung der in einem Varianzkomponenten-Modell zu homogenisierenden Koordinatengewichte ergeben sich für die Transformationsparameter wiederum nur Näherungswerte. Sie sichern zunächst eine Transformation in die Nachbarschaft des Zielsystems. Auswirkungen der noch verbleibenden, differentiell kleinen Systemunterschiede auf die sich anschließende Netzverknüpfung/Netzverschmelzung kann durch Einführung eines relativen Datumsvektors begegnet werden. Die Bestimmbarkeit einzelner Elemente dieses Vektors richtet sich nach der den Koordinatengewichten innewohnenden Datumsinformation. Zugehörige Designkoeffizienten hängen ab von der Art des zugrundegelegten Koordinatenrahmens (kartesisch oder krummlinig, geozentrisch oder lokal). Als Standardverfahren empfiehlt sich eine Elimination aller systembedingten Einflüsse schon im Vorfeld der kombinierten Netzausgleichung. Dieser Weg führt über eine von allen Datumseinflüssen befreite innere Fehlermatrix der Koordinatenbeobachtungen, bei den ohnehin erforderlichen Datumstransformationen ein unerheblicher Mehraufwand.

Damit ergibt sich ein dreistufiges Modell einer hybriden Netzkombination, das den meisten ingenieurgeodätischen Anwendungen gerecht werden sollte. Es wird gekennzeichnet durch folgende Schritte:

  • Transformation von satellitengestützten Koordinaten einschließlich Dispersion in das terrestrischen Bezugssystem; Abspaltung globaler Fehleranteile durch defekterhöhende S-Transformation
  • Verknüpfung satellitengestützter und terrestrischer Netze und/oder terrestrischer Originalbeobachtungen in einer Folgeausgleichung
  • Homogenisierung der Gewichte durch netz- oder gruppenweise Varianzkomponenten-Schätzung

Als wesentliche Vorzüge dieses Konzeptes lassen sich nennen der modulare Aufbau, der eine Integration vorhandener (Ausgleichungs-) Programme einfach macht, die Möglichkeit zu Plausibilitätskontrollen auf allen Ebenen und nicht zuletzt eine bestmögliche Nutzung vorliegender Beobachtungsinformationen durch netz- und gruppenweise Varianzkomponenten-Schätzung.

 


 

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