Heft 29

Schriftenreihe des Studiengangs Geodäsie und Geoinformation
der Universität der Bundeswehr München

 


 

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Heft 29

Die Gaußsche Ellipsoid-Abbildung mit komplexer Arithmetik und numerischen Näherungsverfahren
Dissertation

Autor: H. Glasmacher

Universität der Bundeswehr München, Neubiberg, 1987
131 Seiten

Vollständiger Abdruck der von der Fakultät für Bauingenieur- und Vermessungswesen der Universität der Bundeswehr München zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktor-Ingenieurs (Dr.-Ing.) genehmigten Dissertation.

Vorsitzender:

Prof. Dr. rer. nat. K. Wichmann

1. Berichterstatter:

Prof. Dr.-Ing. A. Schödlbauer

2. Berichterstatter:

Prof. Dr.-Ing. S. Heitz, Universität Bonn

Die Dissertation wurde am 17.02.1987 bei der Universität der Bundeswehr München,
D-8014 Neubiberg, Werner-Heisenberg-Weg 39, eingereicht und durch die Fakultät für Bauingenieur- und Vermessungswesen am 17.07.1987 angenommen.

 


 

Inhalt

Einleitung

  • Der erste Ansatzpunkt
  • Der zweite Ansatzpunkt
  • Der dritte Ansatzpunkt
  • Der vierte Ansatzpunkt
  • Der fünfte Ansatzpunkt
  • Der sechste Ansatzpunkt

Konforme Abbildungen durch komplexe Funktionen

  • Konforme Abbildungen zwischen verschiedenen Flächen
  • Isometrische Koordinaten des Rotations-Ellipsoids
  • Definition der Gaußschen Konformen Abbildung

Numerische Integrations- und Umkehrungs-Verfahren

  • Berechnung Bestimmter Integrale
    • Taylor-Reihenentwicklung
      • Numerische Ableitung der Taylor-Koeffizienten
    • Entwicklung in Trigonometrischen Reihen
    • Die Keplersche und die Simpsonsche Regel
    • Die Gaußsche Quadratur
  • Berechnung von Anfangswert-Aufgaben
    • Taylor-Reihenentwicklung
      • Numerische Ableitung der Taylor-Koeffizienten
    • Das Runge-Kutta Verfahren
  • Numerische Umkehrungs-Verfahren
    • Umkehrung von Potenz-Reihen
    • Umkehrung von Trigonometrischen Reihen
    • Umkehrungen mit Fixpunktverfahren

Die Berechnung der Gaußschen Koordinaten

  • Taylorreihe im Fußpunkt
  • Lösungen mit der Komplexen Länge
    • Berechnung der Komplexen Länge
      • Taylorreihe
      • Trigonometrische Reihe
      • Ellipsoidische Mercatorfunktion
      • Gaußsche Quadratur
    • Berechnung der Gaußschen Koordinaten
      • Taylorreihe
      • Trigonometrische Reihe
  • Lösungen mit der Komplexen Breite
    • Berechnung der Komplexen Breite
      • Umweg über die Komplexe Länge
      • Taylorreihe
      • Runge-Kutta Integration
    • Berechnung der Gaußschen Koordinaten
      • Trigonometrische Reihe
      • Gaußsche Quadratur
  • Vergleich der Verfahren
    • Lösungen mit der Komplexen Länge
    • Lösungen mit der Komplexen Breite
    • Tabellarische Zusammenstellung

Die Umkehrung der Gaußschen Abbildung

  • Umkehrungen mit der Komplexen Länge
    • Berechnung der Komplexen Länge
      • Taylorreihe im Ordinaten-Fußpunkt
      • Taylorreihe in einem festen Punkt
      • Trigonometrische Reihe
    • Berechnung der Geographischen Koordinaten
      • Taylorreihe
      • Trigonometrische Reihe
      • Runge-Kutta Integration
      • Iterative Umkehrung der Mercator-Funktion
  • Umkehrungen mit der Komplexen Breite
    • Berechnung der Komplexen Breite
      • Trigonometrische Reihe
      • Runge-Kutta Integration
    • Berechnung der Geographischen Koordinaten
      • Umweg über die Komplexe Länge
      • Runge-Kutta Integration
      • Gaußsche Quadratur
  • Vergleich der Verfahren
    • Lösungen mit der Komplexen Länge
    • Lösungen mit der Komplexen Breite
    • Tabellarische Zusammenstellung

Maßstabsfaktor und Meridiankonvergenz

  • Berechnung aus Taylorreihen
    • Ableitung der Taylorreihe mit der Komplexen Länge
    • Ableitung der Taylorreihe mit Gaußschen Koordinaten
  • Berechnung aus Trigonometrischen Reihen
  • Berechnung aus der Komplexen Breite

Die Polar-Transformationen für Gaußsche Koordinaten

  • Berechnung des Gaußschen Krümmungsradius
    • Trigonometrische Reihe
    • Fixpunktansatz
  • Die Differentialgleichungen der Polar-Transformation
    • Koordinatenübertragung durch Runge-Kutta Integration
      • Richtungswinkel und Strecke durch Einschwenken
    • Reduktionen für Richtungswinkel und Strecke
      • Koordinatenübertragung mit Reduktionen
  • Vergleich der Polar-Transformationen

Die Meridianstreifen-Transformation

  • Transformation mit komplexer Reihe
  • Transformation durch Fixpunkt-Ansatz
  • Transformation mit Richtungswinkel und Strecke
  • Vergleich der Meridianstreifen-Transformationen

Zusammenfassung der Ergebnisse

 


 

Anhang

Zusammenstellung der Ellipsoidparameter

Zusammenstellung der komplexen Funktionen

Netzdarstellungen der Koordinatensysteme

  • Plot 1: Komplexe Länge und Geographische Koordinaten
  • Plot 2: Gaußsche Koordinaten und Komplexe Länge
  • Plot 3: Gaußsche und Geographische Koordinaten
  • Plot 4: Komplexe Breite und Komplexe Länge
  • Plot 5: Komplexe Breite und Geographische Koordinaten
  • Plot 6: Gaußsche Koordinaten und Komplexe Breite

 


 

Rechenbeispiele

Die Berechnung der Gaußschen Koordinaten

  • Taylorreihe im Fixpunkt
  • Lösungen mit der Komplexen Länge
    • Berechnung der Komplexen Länge
      • Taylorreihe
      • Trigonometrische Reihe
      • Ellipsoidische Mercator-Funktion
      • Gaußsche Quadratur
    • Berechnung der Gaußschen Koordinaten
      • Taylorreihe
      • Trigonometrische Reihe
  • Lösungen mit der Komplexen Breite
    • Berechnung der Komplexen Breite
      • Umweg über die Komplexe Länge
      • Taylorreihe
      • Runge-Kutta Integration
    • Berechnung der Gaußschen Koordinaten
      • Trigonometrische Reihe
      • Gaußsche Quadratur

Die Umkehrung der Gaußschen Abbildung

  • Umkehrungen mit der Komplexen Länge
    • Berechnung der Komplexen Länge
      • Taylorreihe im Ordinaten-Fußpunkt
      • Taylorreihe in einem festen Punkt
      • Trigonometrische Reihe
    • Berechnung der Geographischen Koordinaten
      • Taylorreihe
      • Trigonometrische Reihe
      • Runge-Kutta Integration
      • Iterative Umkehrung der Mercator-Funktion
  • Umkehrungen mit der Komplexen Breite
    • Berechnung der Komplexen Breite
      • Trigonometrische Reihe
      • Runge-Kutta Integration
    • Berechnung der Geographischen Koordinaten
      • Umweg über die Komplexe Länge
      • Runge-Kutta Integration
      • Gaußsche Quadratur

Maßstabsfaktor und Meridiankonvergenz

  • Berechnung aus Taylorreihen
    • Ableitung der Taylorreihe mit der Komplexen Länge
    • Ableitung der Taylorreihe mit Gaußschen Koordinaten
  • Berechnung aus Trigonometrischen Reihen
  • Berechnung aus der Komplexen Breite

Die Polar-Transformationen für Gaußsche Koordinaten

  • Berechnung des Gaußschen Krümmungsradius
    • Trigonometrische Reihe
    • Fixpunkt-Ansatz
  • Die Differentialgleichungen der Polar-Transformation
    • Koordinatenübertragung durch Runge-Kutta Integration
      • Richtungswinkel und Strecke durch Einschwenken
    • Reduktionen für Richtungswinkel und Strecke
      • Koordinatenübertragung mit Reduktionen

Die Meridianstreifen-Transformation

  • Transformation mit komplexer Reihe
  • Transformation durch Fixpunkt-Ansatz
  • Transformation mit Richtungswinkel und Strecke

 


 

Literaturverzeichnis

Lebenslauf

 


 

Zusammenfassung

Für die verschiedenen Rechenaufgaben mit den Gaußschen Ellipsoid-Koordinaten wurden Algorithmen angegeben, die bei Verwendung in den heute als Rechenhilfsmittel üblichen programmierbaren Computern unter verschiedenen Gesichtspunkten optimale Eigenschaften haben. Ansatzpunkte waren dabei die konsequente Verwendung der Arithmetik der komplexen Zahlen sowie verschiedener numerischer Näherungsverfahren.

Dabei hat sich gezeigt, daß die klassischen Lösungsansätze mit Taylor- und Trigonometrischen Reihen in komplexer Arithmetik durchaus computergerecht formuliert werden können, selbst wenn für die numerische Rechnung eine Trennung der reellen und imaginären Anteile notwendig sein sollte. Die Trigonometrischen Reihen haben dabei den Vorteil, das Ellipsoid "im Ganzen" abzubilden.

Die Anwendung numerischer Integrationsverfahren erfordert die Verwendung der Komplexen Breite, zu deren Berechnung neben Lösungen über die Komplexe Länge auch eine direkte numerische Integration angegeben wird. Die numerischen Verfahren bilden ebenfalls das Ellipsoid "im Ganzen" ab. Außerdem lassen sie durch einfachen Austausch der Differentialquotienten die Berechnung verschiedener konformer Abbildungen auch auf anderen Bezugsflächen zu. Es werden mindestens ein Verfahren für Bestimmte Integrale und eines für Anfangswert-Aufgaben benötigt.

Bei den gegenseitigen Vergleichen der Rechenmethoden schneiden jedoch bei Beschränkung auf ellipsoidische Bezugsflächen die komplexen Trigonometrischen Reihen am besten ab.

Für die Umkehr-Abbildung gelten weitgehend die gleichen Aussagen. Sie kann aber auch einfach iterativ durch Umkehrung des gesamten Abbildungsvorganges mit wenigen zusätzlichen Programmbefehlen über ein Newton-Verfahren erfolgen. Für die Berechnung der Gaußschen Koordinaten aus den Geographischen sowie der Umkehrabbildung können als Bausteine die gleichen numerischen Integrationsverfahren verwendet werden.

Der Maßstabsfaktor und die Meridiankonvergenz werden durch Differentiation der Abbildungsfunktion berechnet. Die Berechnung kann daher in gleicher Weise wie die der Koordinaten erfolgen, nämlich durch Taylor- oder Trigonometrische Reihenentwicklung unter Verwendung der gleichen Koeffizienten oder in geschlossener Form aus der Komplexen Breite.

Für die Polar-Transformation zwischen ellipsoidischen Richtungswinkeln und Strecken und den Gaußschen Koordinaten wird der Gaußsche Krümmungsradius verwendet, der jedoch eine Funktion der meistens nicht gegebenen Geographischen Breite ist. Zu seiner direkten Berechnung aus den Gaußschen Koordinaten werden zwei verschiedene Verfahren angegeben.

Damit ist eine wesentliche Voraussetzung für die Berechnung der Polar-Transformationen mit numerischen Integrationsverfahren erfüllt. Dazu wurden die für die Geographischen Koordinaten bekannten Methoden der Runge-Kutta Integration und deren Umkehrung durch Einschwenken in das Gaußsche System übertragen. Als Alternative werden die Absteckelemente mit Hilfe von Abbildungs-Reduktionen über die einfache Keplersche Fußregel berechnet, die Koordinaten-Übertragung erfolgt dann über einen Fixpunktansatz. Die neu entwickelten Reduktionen haben eine beachtenswerte Genauigkeit bei geringem Rechenaufwand.

Die Meridianstreifen-Transformation kann über eine Taylor-Reihenentwicklung mit komplexen Koeffizienten und als Fixpunktverfahren durchgeführt werden. Für die meisten Anwender wird jedoch die Lösung der Streifentransformation über die bei Feld-Vermessungen häufig verwendeten Polar-Transformationen den geringsten Aufwand erforden.

Entsprechend der Zielsetzung konnten mit Hilfe der in der Einleitung einzeln aufgeführten Ansatzpunkte für alle Rechenaufgaben mit den Gaußschen Ellipsoid-Koordinaten Lösungswege gefunden werden, die zur Verwendung in kleinen Computern besser geeignet sind als die bisher gebräuchlichen.


 
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