Heft 12

Schriftenreihe des Studiengangs Geodäsie und Geoinformation
der Universität der Bundeswehr München

 


 

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Heft 12

Analyse geodätisch gemessener Punktlageänderungen mit gemischten Modellen
Dissertation

Autor: P. Schwintzer

Hochschule der Bundeswehr München, Neubiberg, 1984
159 Seiten

Vollständiger Abdruck aus der vom Fachbereich Bauingenieur- und Vermessungswesen der Hochschule der Bundeswehr München zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktor-Ingenieurs (Dr.-Ing.) genehmigten Dissertation.

Vorsitzender:

Prof. Dr. rer. nat. Klaus Wichmann

1. Berichterstatter:

Prof. Dr.-Ing. Wilhelm Caspary

2. Berichterstatter:

Prof. Dr.-Ing. Walter Welsch

3. Berichterstatter:

Prof. Dr.-Ing. E. Grafarend, Universität Stuttgart

Die Dissertation wurde am 26.10.1983 bei der Hochschule der Bundeswehr München,
D-8014 Neubiberg, Werner-Heisenberg-Weg 39, eingereicht und durch den Fachbereich Bauingenieur- und Vermessungswesen am 12.12.1983 angenommen.

 


 

Inhalt

Einleitung

Lineare Modelle mit Zufallsparametern

  • Modell- und Begriffsdefinitionen
  • Ableitung der Schätzfunktionen nach unterschiedlichen Methoden
    • Ableitung der Schätzfunktionen aus dem statistischen Regressionsmodell
    • Ableitung der Schätzfunktionen aus dem Gauß-Markoff-Modell mit erweitertem Beobachtungsvektor
    • Ableitung der Schätzfunktionen aus dem Gauß-Markoff-Modell mit geänderter Gewichtsmatrix der Beobachtungen
  • Behandlung von Rangdefekten
    • Spaltensinguläre Koeffizientenmatrix der festen Parameter
    • Singularitäten im stochastischen Teil des Modells
  • Explizite Ableitung der Schätzfunktionen unter Einschluß einer möglicherweise singulären Kofaktorenmatrix der Beobachtungen
    • Parameterschätzung
    • Genauigkeitsschätzung
    • Geometrische Deutung der Parameterschätzung im gemischten Modell
  • Quadratische Formen im gemischten Modell
    • Ableitung der formelmäßigen Zusammenhänge
    • Erwartungswerte und Verteilungen
    • Quadratische Formen bei nichtlinearer Trendfunktion

Analyse von Punktlageänderungen zwischen zwei Beobachtungsepochen

  • Das gemischte Analysemodell mit Trend- und Zufallsanteil
    • Ausgleichungsansatz und Modellvoraussetzungen
    • Gewichtung der Zufallsparameter
      • Die Struktur der Varianz-Kovarianz-Matrix für die Zufallsparameter
      • Einfluß von Gewichtsänderungen der Zufallsparameter auf die Ausgleichung
  • Modellüberprüfung und Modellanpassung
    • Globaltest der Punktlageänderungen und der Verbesserungen im festen Gauß-Markoff-Modell
    • Schätzung der endgültigen Varianz-Kovarianz-Matrix für die Zufallsparameter und Lokalisierung von Einzelpunktbewegungen
    • Globaltest der Zufallsparameter auf Modellrelevanz
    • Signifikanztests der Trendparameter durch Cholesky-Zerlegung mit spezieller Pivotsuche
  • Der Sonderfall einer Punktanalyse ohne Trendfunktion im Vergleich mit der Methode der Klaffungszerlegung

Erweiterung der Analyse von Punktlageänderungen auf die Bearbeitung mehrerer Epochen

  • Das gemischte Modell für die Mehrepochenanalyse
    • Ausgleichungsansatz und Modellvoraussetzungen
    • Gewichtung der Zufallsparameter
  • Modellüberprüfung und Modellanpassung bei einer gleichzeitigen Auswertung aller Beobachtungsepochen
    • Globaltest der Punktbewegungen und der Verbesserungen im festen Gauß-Markoff-Modell
    • Schätzung der Varianz der Gewichtseinheit für die Zufallsparameter und Lokalisierung von abweichenden Beobachtungsepochen
    • Signifikanztests der Trendparameter
  • Anwendung der sequentiellen Parameterschätzung auf die Mehrepochenanalyse
    • Vorgehensweise
    • Berechnungsformeln für die Parameter- und die Genauigkeitsschätzung
    • Ermittlung von Modellabweichungen bei Hinzunahme einer neuen Beobachtungsepoche
    • Abrißartiger Vergleich mit der diskreten Kalman-Filterung
  • Der Sonderfall einer Mehrepochenanalyse ohne Trendfunktion

Numerische Beispiele

  • Zweiepochenanlyse
    • Simuliertes zweidimensionales Netz
    • Dreidimensional gemessenes Staudammüberwachungsnetz
  • Mehrepochenanalyse

Zusammenfassung

 


 

Literaturverzeichnis

Lebenslauf

 


 

Zusammenfassung

In der vorliegenden Arbeit wird die Anwendung gemischter Modelle auf die Analyse geodätisch gemessener Punktdeformationen beschrieben. Gemischte Modelle sind dadurch gekennzeichnet, daß neben den deterministischen Parametern Zufallsparameter auftreten, deren Erwartungswerte a priori als bekannt vorausgesetzt werden. Darüberhinaus müssen a priori Annahmen über die gegenseitigen Korrelationen der Zufallsparameter getroffen werden. Im Unterschied zu dem Kollokationsmodell schließen gemischte Modelle auch den Fall verschwindender Korrelationen ein. Dieser Fall ist bedeutsam, da das Ziel der Analyse in einer optimalen Filterung der Beobachtungen und nicht in der Prädiktion von Zufallsgrößen liegt. Die Erweiterung des Analysemodells um einen Vektor von Zufallsgrößen soll die unregelmäßigen Punktbewegungen oder die Modellrestfehler, die sich einer deterministischen Beschreibung entziehen und die auch nicht durch die Meßungenauigkeit erklärt werden können, berücksichtigen. Diese Modellrestfehler können sowohl bei einer Generalisierung mittels eines Approximationsmodells als auch bei einer Einzelpunktanalyse ohne deterministischen Modellanteil auftreten.

Nach einer allgemeinen Einführung in die Problematik beschäftigt sich das zweite Kapitel mit der Ausgleichung in gemischten Modellen. Es werden zunächst verschiedene Wege für die Ableitung der Schätzfunktionen aller im Modell auftretenden unbekannten Größen aufgezeigt, wobei sich unterschiedliche Aspekte für die Interpretation der Größen und für die Programmierung ergeben. Ausführlich wird auf die Behandlung von Rangdefekten insbesondere im stochastischen Teil des Modells eingegangen, da dieses Problem in der Deformationsanalyse von großer Bedeutung ist. Datumsdefekte in den Natzausgleichungen führen zu singulären Kofaktorenmatrizen der in die Folgeausgleichungen zur Deformationsanalyse als Beobachtungen eingeführten Punktkoordinaten. Es wird gezeigt, in welcher Weise der Vektor der Zufallsparameter in dem gemischten Modell transformiert werden muß, um den bei einem Rangabfall implizit im Koordinatenvektor enthaltenen Bedingungen Rechnung zu tragen. Daneben werden die Unterschiede zwischen dem Gauß-Markoff-Modell und dem gemischten Modell sowohl analytisch als auch in vereinfachter Form geometrisch herausgearbeitet. Schließlich werden die grundlegenden Beziehungen zwischen den quadratischen Formen der in dem gemischten Modell auftretenden Größen sowie die Erwartungswerte und die Verteilungen dieser quadratischen Formen abgeleitet.

Das dritte Kapitel behandelt die Analyse der zwischen zwei Beobachtungsepochen aufgetretenen Punktverschiebungen in einem Zweiepochenmodell. Dabei sind neben der Schätzung der deterministischen Parameter einer generalisierenden Approximationsfunktion davon abweichende große Einzelpunktverschiebungen zu lokalisieren und die Varianzkomponenten zu schätzen, mit denen die Korrelationsmatrix der Zufallsparameter in die Varianz-Kovarianz-Matrix überführt werden kann. Die Korrelationsmatrix der Zufallsparameter muß a priori mittels geeigneter Korrelationsfunktionen oder als Diagonalmatrix aufgestellt werden. Die vom Generalisierungsmodell abweichenden Einzelpunktverschiebungen werden analog der Suche nach Ausreißern bei geodätischen Meßreihen mittels statistischer Testverfahren lokalisiert. In der weiteren Behandlung festgestellter Einzelpunktverschiebungen ergeben sich, je nachdem, ob die Kofaktorenmatrix der Koordinatenunterschiede regulär oder singulär ist, Unterschiede. Die Varianzkomponenten für die Zufallsparameter werden iterativ geschätzt, wobei auf die aus der Literatur bekannten Verfahren zurückgegriffen werden kann. An den Varianzkomponenten kann die Größenordnung der unregelmäßigen Modellrestfehler abgelesen werden. Da sich Einzelpunktlokalisierung und Varianzkomponentenschätzung gegenseitig beeinflussen, sind diese Schritte eventuell mehrmals zu durchlaufen. Abschließend werden die Parameter der generalisierenden Funktion auf Signifikanz untersucht. Bei dem beschriebenen Verfahren (Cholesky-Zerlegung mit Pivotsuche) wird die quadratische Form der Parameter in unkorrelierte Anteile zerlegt. In einem multiplen statistischen Test wird anschleißend die Parameterkombination ausgewählt, die modellrelevant ist. Die Vorgehensweise bei der Zweiepochenanlyse beinhaltet als Sonderfall die Einzelpunktanalyse in einem Modell ohne deterministischen Anteil. Die sich dabei ergebenden Gemeinsamkeiten und Unterschiede im Vergleich mit der gebräuchlichen Methode der Klaffungszerlegung werden herausgearbeitet.

Das vierte Kapitel behandelt die gleichzeitige Bearbeitung mehrerer Beobachtungsepochen in einem gemeinsamen Auswertemodell (Mehrepochenanalyse). Die Mehrepochenanalyse erlaubt die Modellierung zeitlicher Bewegungsabläufe. Methodisch ergeben sich hinsichtlich der Vorgehensweise bis zur endgültigen Modellfindung gegenüber der Zweiepochenanalyse keine grundlegenden Erweiterungen. An die Stelle der Tests zur Einzelpunktanalyse treten bei der Mehrepochenanalyse jedoch die Modelltests zur Lokalisierung der von dem Generalisierungsmodell abweichenden Beobachtungsepochen. Sind die einzelnen Beobachtungsepochen gegenseitig unkorreliert, so ergeben sich erhebliche rechentechnische Vorteile, wenn statt einer Ausgleichung in einem Guß die Parameter sequentiell geschätzt werden. Dabei auftretende Parallelen zur Kalman-Filterung, wo ebenfalls ein gemischtes Modell benutzt wird, werden aufgezeigt.

An drei numerischen Beispielen wird schließlich im fünften Kapitel der Ablauf der Berechnungen und der statistischen Tests bei verschiedenen Deformationsanalysen demonstriert. Die Zweiepochenanalyse wird auf ein zweidimensionales simuliertes Netz mit simulierten Deformationen und auf ein dreidimensional gemessenes Talsperrenüberwachungsnetz angewendet. Für die Mehrepochenanalyse werden die Höhenbeobachtungen von sechs Beobachtungsepochen des Talsperrenüberwachungsnetzes herangezogen. Die Ergebnisse zeigen die Wirksamkeit der vorgestellten Ausgleichungs- und Teststrategien.

 

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