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Partielle Differentialgleichungen

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Modul 1046: Partielle Differentialgleichungen

Diese Seite ist aktuell im Studienjahr 2012/13.

Vorlesender: Prof. Thomas Apel.

Übungsleiter: Thomas Flaig

Modulbestandteile: 2V/2Ü im HT, 2V/2Ü im WT, jeweils etwa 9 Wochen lang

Qualifikationsziele: Sehr viele naturwissenschaftliche Vorgänge können durch Anwendung der Erhaltungssätze der Physik modelliert und erklärt werden, zum Beispiel die Dynamik von Bauwerken und Robotern, die Ausbreitung von Wärme in Turbinen und Triebwerken, das Verhalten elektrischer Netzwerke und die Verwirbelungen von Luft bei der Durchfahrt von Zügen durch ein Tunnel. In der Sprache der Mathematik entstehen aus der Anwendung von Erhaltungssätzen der Physik im Allgemeinen Differentialgleichungen. Diese Differentialgleichungen können nach Bauart und Komplexität sehr unterschiedlich sein.

In diesem Modul lernen die Studierenden, Differentialgleichungen nach verschiedenen Gesichtspunkten zu klassifizieren und daraus Lösungseigenschaften abzuleiten. Für einfache Aufgaben werden die Studierenden in die Lage versetzt, Lösungsdarstellungen anzugeben.

Komplizierte Aufgaben können nicht analytisch gelöst werden. Wie man Lösungen von mathematischen Problemen auf dem Computer approximieren kann und welche Effekte dabei zu beachten sind, wird einführend im Rahmen der Vorlesung Numerik für Differentialgleichungen und weiterführend im Masterstudium behandelt. Die Vorlesung Partielle Differentialgleichungen ist sowohl vom Problemverständnis als auch von den Werkzeugen die Grundlage für die genannten weiterführenden Vorlesungen.

Inhalte: In diesem Modul werden die Studierenden mit den Grundlagen der Analysis partieller Differentialgleichungen bekannt gemacht, die anhand von Modellproblemen behandelt werden. Der Inhalt überdeckt die Existenz klassischer und schwacher Lösungen, Regularitätsbetrachtungen, das Maximumprinzip bei elliptischen und parabolischen Aufgaben, sowie Lösungsdarstellungen in Form von Reihen und Integralen eingehen.

Literaturempfehlungen:

  • St. Larsson, V. Thomée: Partielle Differentialgleichungen und numerische Methoden. Springer, Berlin, 2005
  • A. Tveito, R. Winther: Einführung in partielle Differentialgleichungen. Springer, Berlin, 2002
  • K. Burg, H. Haf, F. Wille: Partielle Differentialgleichungen. Teubner, Wiesbaden, 2004
  • W. A. Strauss: Partielle Differentialgleichungen, eine Einführung. Vieweg, Braunschweig, 1995
  • L. C. Evans: Partial differential equations. AMS, Providence, RI, 1998, 2002